Estoy tratando de entender la definición categórica de un producto, que los describe en términos de existencia de un morfismo único que hace conmutar tal o cual diagrama. No creo haber entendido del todo la motivación de esta definición: en particular, ¿por qué ese morfismo debe ser único? ¿Cuál es la consecuencia de omitir el requisito de unicidad en, por ejemplo, Set?
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sam
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Bueno, un mapa de conjunto $f:X\to A\times B$ debe estar determinada de forma única por sus componentes $f_A:X\to A$ y $f_B:X\to B$ y, a la inversa, dos funciones cualesquiera $X\to A$ y $X\to B$ debe combinarse con un mapa $X\to A\times B$ .
Esto es básicamente una tautología en términos de la construcción habitual del conjunto-producto: escribir $f(x)=(a_x,b_x)$ produce las funciones $x\mapsto a_x$ y $x\mapsto b_x$ .
En otras palabras $f\mapsto (f_A,f_B)$ debe ser un biyección $$\text{Hom}(X,A\times B)\to \text{Hom}(X,A)\times \text{Hom}(X,B).$$
La parte de unicidad (resp. existencia) corresponde a la inyectabilidad (resp. subjetividad) de este mapa.
Si dejas de lado la parte de la singularidad, obtendrás muchos productos. Por ejemplo $A\times B\times Z$ para cualquier conjunto $Z$ será entonces un producto (con las proyecciones a $A,B$ ). En efecto, el mapa
$$\text{Hom}(X,A\times B\times Z)\to \text{Hom}(X,A)\times \text{Hom}(X,B)$$
(enviando un mapa a su $A,B$ -) es suryectiva pero altamente no inyectiva: somos libres de elegir el $Z$ -componente.
Jeff
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804
Esta es una pregunta que podrá responder usted mismo después de alguna experiencia... de todos modos:
El producto cartesiano $X \times Y$ de dos conjuntos $X,Y$ tiene la propiedad Cada elemento de $X \times Y$ tiene una representación $(x,y)$ con único elementos $x \in X$ y $y \in Y$ . Esta es la propiedad importante y característica de los pares ordenados. En otras palabras, si $*$ denota el conjunto de un punto: Para cada dos morfismos $x : * \to X$ y $y : * \to Y$ existe un morfismo único $(x,y) : * \to X \times Y$ tal que $p_X \circ (x,y) = x$ y $p_Y \circ (x,y) = y$ . Pero como podemos hacer todo puntualmente, lo mismo vale para conjuntos arbitrarios en lugar de $*$ : Para cada dos morfismos $x : T \to X$ y $y : T \to Y$ (que puede pensar en familias de elementos en $X$ resp. $Y$ , también llamado $T$ -puntos de valor en el marco de la geometría algebraica funtorial), existe un morfismo único $(x,y) : T \to X \times Y$ tal que $p_X \circ (x,y) = x$ y $p_Y \circ (x,y) = y$ . Una vez entendido esto en detalle, esto motiva la definición general de un diagrama de producto en una categoría. Al fin y al cabo, estos aparecen en todas partes en las matemáticas (productos de grupos, espacios vectoriales, $\sigma$ -algebras, espacios topológicos, etc.). Por supuesto, la declaración de unicidad es esencial. De lo contrario, el producto no será único y en el caso de los conjuntos se obtendrán muchos más objetos en lugar del habitual producto cartesiano. En general, un objeto $T$ satisface la propiedad universal de $X \times Y$ sin el requisito de unicidad si existe un retracción $T \to X \times Y$ . Así, por ejemplo, en la categoría de conjuntos, todo conjunto mayor que el producto cartesiano cumplirá los requisitos.
