En $\mathbb{R}^6$, tres bucles
$$C_1:=\{(0,x,-x;0,y,-y)\mid x^2+y^2=1\}\\ C_2:=\{(x,0,-x, y,0,-y)\mid x^2+y^2=1\}\\ C_3:=\{(x,-x,0;y,-y,0)\mid x^2+y^2=1\}$$ están incrustados. Hay un par de círculos que están vinculados?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sarath
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No, los subespacios no están vinculados. Tenga en cuenta que si puedo mover $C_1$ arbitrariamente lejos de $C_2$ sin ellos nunca se cruzan, entonces se desvinculan. Definir $$ C_{1,h} = \{(h,x,-x,0,y,-x) \mid x^2+y^2=1 \}, \qquad h \in \mathbf{R}$$ Ahora pasemos $C_1$ lejos de $C_2$. Supongamos que estas dos subespacios interceptó el uno al otro como $h$ en $C_{1,h}$ se grande, por lo que hemos tenido $$ (h,x_1,-x_1,0,y_1,-y_1) = (x_2,0,-x_2,y_2,0,-y_2), \qquad x_1^2+y_1^2=1, \quad x_2^2+y_2^2=1, \quad h > 0 $$ Es decir, $$ (h-x_2,x_1,-x_1+x_2,-y_2,y_1,y_2-y_1) = 0 $$ por lo $x_1=0$ e $y_1=0$, violando el requisito de $x_1^2+y_1^2=1$. A continuación, por encima de la igualdad nunca se mantiene, por lo que los espacios que nunca se cruzan como hemos varían $h$. Por lo que podemos mover $C_1$ alejados $C_2$ como queremos sin intersecciones; de modo que los espacios no están vinculados.
Ahora, ¿cuál es la idea detrás de este problema? Probablemente para mostrar por qué dos dimensiones de los subespacios de un espacio de alta dimensión nunca están vinculados. Siempre es posible moverse a través del espacio más grande para mover los subespacios lejos el uno del otro, sin los subespacios nunca de intersección.
