Complejo Integral De Análisis

Question

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x\sin(x)\,dx}{x^{4}+1}=?$$ Estoy teniendo problemas con esta integral. Ayuda sería apreciada.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\sin(x)=\text{Im}(e^{ix})$.

Deje $C$ ser el contorno cerrado compuesto de $(i)$ el real segmento de la línea de $-R$ a $R$ e $(ii)$ el semi-círculo en la mitad superior del plano, con centro en el origen y con radio de $R$.

A partir de los residuos teorema, tenemos para $R>1$

$$\begin{align} \oint_{C}\frac{ze^{iz}}{z^4+1}\,dz&=\int_{-R}^R\frac{xe^{ix}}{x^4+1}\,dx+\int_0^\pi \frac{Re^{i\phi}e^{iRe^{i\phi}}}{(Re^{i\phi})^4+1}\,iRe^{i\phi}\,d\phi \tag 1\\\\ &=2\pi i \text{Res}\left(\frac{ze^{iz}}{z^4+1}, z=e^{ i \pi/4},e^{ i3 \pi/4}\right) \end{align}$$

La segunda integral en el lado derecho de la $(1)$ enfoques $0$ as $R\to \infty$. Por lo tanto, tenemos

$$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty\frac{xe^{ix}}{x^4+1}\,dx&=2\pi i \text{Res}\left(\frac{ze^{iz}}{z^4+1}, z=e^{ i \pi/4},e^{ i3 \pi/4}\right)\\\\ &=2\pi i \left(\frac{e^{i\pi/4}e^{(-1+i)/\sqrt 2}}{4e^{i3\pi/4}}+\frac{e^{i3\pi/4}e^{-(1+i)/\sqrt 2}}{4e^{i\pi/4}}\right)\\\\ &=i\pi\sin(1/\sqrt 2)e^{-1/\sqrt 2}\tag 2 \end{align}$$

Por último, tomando la parte imaginaria de ambos lados de $(2)$ rendimientos

$$\int_{-\infty}^\infty\frac{x\sin x}{x^4+1}\,dx=\pi\sin(1/\sqrt 2)e^{-1/\sqrt 2}$$

Answer 2

1. Considere la posibilidad de que $\sin(x)=\text{Im}(e^{ix})$;
2. Comprobar que por ML de la integral de $f(z)=\frac{z e^{iz}}{z^4+1}$ sobre un gran medio círculo en la mitad superior del plano -, centrada en el origen con radio de $R$, va a $0$ as $R\to +\infty$;
3. Aplicar el teorema de los residuos para conseguir que $$ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{z e^{iz}}{z^4+1}\,dz = 2\pi i\sum_{w\in W}\text{Res}\left(f(z),z=w\right) $$ donde $W$ es el conjunto de los polos de $f(z)$ en la mitad superior del plano -;
4. Compruebe que dichos polos son simples postes y calcular los residuos asociados a través de $$ \text{Res}\left(f(z),z=w\right) = \lim_{z\to w}\frac{z e^{iz}(z-w)}{z^4+1} \stackrel{dH}{=}\frac{1}{4w^3}\cdot\left.\frac{d}{dz}\left(z e^{iz}(z-w)\right)\right|_{z=w} $$
5. El resultado final es la parte imaginaria de $2\pi i\sum_{w\in W}\text{Res}\left(f(z),z=w\right)$.

Si nada sale mal, usted consigue $\color{red}{\pi e^{-\frac{1}{\sqrt{2}}}\sin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}$.