Relación: Rango de una matriz $\leftrightarrow$ # Número de valores propios

Question

¿Puede alguien decir, por qué el número de los valores propios no nulos (contados según sus multiplicidades algebraicas) de una matriz de tipo $A^{*}A$ , donde $A$ es una matriz arbitraria de valor real o complejo, es igual al rango de $A$ ? Aquí en el paso 2, me parece que se hace exactamente esta afirmación, y no puedo entenderlo.

Entiendo, que si $$\text{rank}\left(A^{*}A\right)=r$$

entonces $$\ker\left(A^{*}A\right)=n-r,$$ si sucede que $A^{*}A$ es un $n\times n$ matriz. Pero, ¿cómo puedo concluir de esto, que la multiplicidad de la $0$ valor propio es $n-r$ es decir, que hay $n-r$ que se asignan a $0$ (no podría por eso sólo combinación lineal de $n-r$ vectores propios se asignan a $0$ ya que el núcleo no tiene que ser necesariamente por los propios vectores propios, que yo sepa)?

Answer 1

La matriz $A^*A$ es autoadjunta, por lo que cada valor propio es real y la matriz es diagonalizable. Esto significa que las multiplicidades algebraicas y geométricas de cada valor propio coinciden. En particular, la nulidad de $A^*A$ es igual a la multiplicidad algebraica del valor propio $0$ ya que la suma de las multiplicidades algebraicas de todos los valores propios debe ser igual a $n$ (ya que el polinomio característico de $A^*A$ debe dividirse, ya que todos los valores propios son reales) se deduce que el rango de $A^*A$ es igual a la suma de las multiplicidades algebraicas de los valores propios no nulos.

Ahora, sólo queda demostrar que el rango de $A^*A$ es igual al rango de $A$ . Dado que el espacio nulo de $A$ está contenido en el espacio nulo de $A^*A$ tenemos que $\mathrm{nullity}(A)\leq\mathrm{nullity}(A^*A)$ . Por otro lado, si $\mathbf{v}\notin \mathrm{nullspace}(A)$ entonces $$0\lt \langle A\mathbf{v},A\mathbf{v}\rangle = \langle A^*A\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle$$ así que $A^*A\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$ . Así, $\mathrm{nullspace}(A^*A)=\mathrm{nullspace}(A)$ , lo que da $\mathrm{nullity}(A^*A)=\mathrm{nullity}(A)$ .

Desde $A$ y $A^*A$ tienen el mismo número de columnas, se deduce también que $\mathrm{rank}(A^*A) = \mathrm{rank}(A)$ .

Answer 2

Tengo una pista, que espero que no vaya más allá de su curso actual.

¿Te has dado cuenta de que $A^*A$ es una matriz hermitiana? Entonces sería diagonalizable...

Answer 3

Considere la descomposición del valor singular $A=U \Sigma V^*$ . Si se multiplica de esta forma se obtiene inmediatamente una descomposición de valores propios, $A^*A=V \Sigma^2 V^*$ .

Así, los valores singulares cuadrados no nulos de $A$ son exactamente los valores propios de $A^*A$ siendo los vectores propios las columnas correspondientes de $V$ . El número de valores singulares no nulos de $A$ es, por supuesto, el rango de $A$ .

Editar: Si no estás familiarizado con la descomposición del valor singular, la intuición que hay detrás es la siguiente. Cualquier matriz $A$ mapea la esfera unitaria a un elipsoide. En la descomposición del valor singular, las columnas de $V$ son los vectores ortonormales en la esfera que se mapean a los ejes del elipsoide, las columnas de $U$ son los ejes ortonormales del elipsoide, y los valores singulares (entradas de la matriz diagonal $\Sigma$ ) son las longitudes de escala de los ejes del elipsoide. Si $A$ es de rango deficiente, lo que significa que el elipsoide está completamente aplanado en algunas direcciones, es decir, algunos de los valores singulares son cero.

Answer 4

Me gustaría dar un enfoque alternativo (aunque podría ser lo mismo).

Considere $$A \in \mathbb{C}^{(m * n)}$$ A continuación, consideremos la Descomposición de Valor Único (SVD) de A (dado que todas las matrices pueden expresarse en forma de SVD, podemos hacerlo de forma general), $$A = U \tilde{\Sigma} V^*$$ donde $U$ y $V$ son matrices unitarias, lo que también implica que son invertibles, lo que implica que son matrices de rango completo.

También sabemos que para cualquier matriz $C$ y $D$ , $$Rank(CD) \leq Rank(C)$$

Por lo tanto, podemos decir que $$Rank(A) = Rank( U \tilde{\Sigma} V^* )$$ $$= Rank(\tilde{\Sigma})$$ Podemos escribir esto ya que los rangos de U y V* son de todos modos máximos, por lo que el rango de A dependerá sólo del rango de $\tilde{\Sigma}$ .

Además, como $\tilde{\Sigma}$ es una matriz diagonal que tiene los valores singulares de A (valores singulares positivos y nulos) en la diagonal principal, el rango de la matriz será el número de valores singulares positivos (o no nulos, ya que los valores singulares no son negativos) de A.

Además, los valores singulares de $A$ son las raíces cuadradas no negativas de los valores propios de $A^*A$ o $AA^*$ . Ahora, considera, $$A^*A = (U\tilde{\Sigma} V^*)^*(U\tilde{\Sigma} V^*)$$ que se reduce a, $$A^*A = V\tilde{\Sigma}^2 V^*$$ Así que, $A^*A$ tiene el mismo número de valores singulares no nulos que $A$ . Y $A^*A$ es una matriz hermitiana (normal), por lo que los valores propios son las raíces cuadradas no negativas de los valores singulares. Así que, por los argumentos anteriores, podemos concluir que la $Rank(A)$ es igual al número de valores propios no negativos de A.