$3\mid a^3+b^3+c^3$ si $3\mid a+b+c$

Question

Demostrar la siguiente equivalencia: $3\mid (a^3 + b^3 + c^3)$ si y sólo si $3\mid (a + b + c)$.

Yo:

Sé $a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca) + 3abc$, pero me parece que no puede continuar a partir de aquí.

Gracias a todos!

Answer 1

El hecho es que, $n^3−n=(n−1)n(n+1)$, producto de tres enteros consecutivos es un múltiplo de $3$.

Por lo tanto $3$ divide $(a^3−a)+(b^3−b)+(c^3−c)$ para cualquier terna de enteros $a,b,c$. Reordenando los términos, tenemos que $3$ dividiendo $(a^3+b^3+c^3)−(a+b+c)$.

Answer 2

Muy corto con Lil' Fermat:

para cualquier $x\in\mathbf Z$, $\;x^3\equiv x\mod 3$. Por lo tanto $a^3+b^3+c^3\equiv a+b+c\mod 3$.

Answer 3

Compare $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ con $(a+b+c)^2$

Answer 4

Por Fermat Poco Teorema sabemos que $3$ divide $x^3-x$ cualquier $x \in \mathbb{Z}$

Lo que significa que $(a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c) = (a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)$ es divisible por $3$.

La conclusión es fácil derivar ahora.