Esclarecedor prueba de que los números algebraicos forman un campo

Question

La prueba de que estoy familiarizado con los números algebraicos $\mathbb A$ formulario un campo utiliza el hecho de que la resultante de dos polinomios $p,q\in\mathbb Q[x]$ satisface las siguientes propiedades:

• Es $0$ fib $p$ $q$ tienen un factor común.
• Es un polinomio en los coeficientes de $p$$q$.

A continuación presentamos una nueva variable y hábilmente manipular $p$ $q$ para obtener los polinomios que se desvanecen en las sumas y los productos de sus raíces. Esto es en cierto modo una prueba interesante, por ejemplo, es constructivo y así se puede convertir en un algoritmo para encontrar los polinomios (que, de hecho, acaba de terminar en C). Pero no me parece muy esclarecedor; parece que el hecho de que $\mathbb A$ es un campo es simplemente un accidente. Hay más esclarecedor prueba de este hecho?

Answer 1

Mi favorito de la prueba de esto es que a través de matrices. Un número complejo es un valor propio de una matriz cuadrada de los números racionales si y sólo si es algebraicas (por ejemplo, cualquier monic polinomio tiene un compañero de la matriz de la que es el polinomio característico).
Si $A$ es una matriz invertible con autovalor $\alpha$, $A^{-1}$ ha autovalor $1/\alpha$. Si $A$ $B$ son matrices cuadradas con rational entradas y autovalores $\alpha$ $\beta$ para los vectores propios $u$$v$, respectivamente, a continuación, $A \otimes B$ $A \otimes I + I \otimes B$ tiene autovalores $\alpha \beta$ $\alpha + \beta$ para autovector $u \otimes v$.

Esto también muestra, por CIERTO, que la algebraica de los números enteros está cerrado bajo la suma y la multiplicación: son los autovalores de las matrices con el entero de las entradas.

Answer 2

Si $a,b$ son algebraicas, a continuación, $[F(a,b):F]$ es finito por lo $a+b, ab \in F(a,b)$ son algebraicas. Me parece que esta prueba para sentirse más esclarecedor.

Si usted específicamente quería ver por qué la constructiva, la prueba no es un mero accidente, luego de ver este vínculo - después de demostrar que la suma de los números algebraicos es algebraica de la forma habitual, se agrega:

Ahora vamos a analizar el argumento de arriba un poco. Vemos que lo que lo fue la de que el espacio vectorial de todas racional combinaciones de potencias de x+y era finito-dimensional. A continuación, observamos que nos deduce del hecho de que el vector correspondiente espacios para las potencias de x y poderes y también fueron finito-dimensional - y también la de crear un sistema generador de (x+y)-espacio de la expansión de los conjuntos de los x-espacio, y el eje y del espacio.

Answer 3

Me parece otra de las maravillosas prueba en una Conferencia sobre la teoría de números algebraicos por Hecke. Es constructivo en apariencia, pero es poco práctico en la realidad.
Deje $p(x)$ $q(x)$ ser de dos polinomios con coeficientes racionales, y con raíces $\alpha$ $\beta$ respectivamente. Deje $\{\alpha_i|i=0,\ldots,m\}$ $\{\beta_j|j=0,\ldots,n\}$ ser sus conjugados, es decir, las raíces de $p$ $q$ respectivamente. A continuación, establezca $$r(x)=\prod_{i=0}^m\prod_{j=0}^n(x-\alpha_i-\beta_j).$$ We kow that $\alpha+\beta$ is a root of $r(x)$, and that coefficients of $r(x)$ are symmetric functions of roots of $p$ and $q$, and hence could be written as polynomials of coefficients of the two polynomials, thus is rational. Therefore $\alpha+\beta$ is also algebraic. A similar proof goes for products. Finally, write $$p(x)=\sum_0^ma_ix^i.$$Then $$\sum_0^ma_i\alpha^i=0,$$ so that $$\sum_0^ma_{m-i}\alpha^{-i}=0,$$ and hence $\alpha^{-1}$ también es algebraico.
Me informe de cualquier ambigüedad o error, gracias.