Dado los números positivos $a, b, c, x, y, z$, de tal manera que $a + x = b + y = c + z = S$, demuestran que, a $ay + bz +cx < S^2$

Question

Dado los números positivos $a, b, c, x, y, z$, de tal manera que $a + x = b + y = c + z = S$, demuestran que, a $ay + bz +cx < S^2$

Una solución es:

Denotar $T = S/2$. Uno de los triples $(a, b, c)$ e $(x, y, z)$ tiene la propiedad de que al menos dos de sus miembros son mayores que o igual a $T$ . Suponga que $(a, b, c)$ es el uno, y elija $\alpha = a - T, \beta = b-T$ e $\gamma = c-T$. Luego tenemos la $x = T-\alpha, y = T - \beta$ e $z= T - \gamma$.

Ahora la necesaria desigualdad es equivalente a

$$ (T+\alpha)(T-\beta)+(T+\beta)(T-\gamma)+(T+\gamma)(T-\alpha) < 4T^2 $$

Después de simplificar obtenemos que lo que tenemos que demostrar es

$$ -(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) <T^2 \ \ \ \ \ \ (1) $$

También sabemos que en la mayoría de uno de los números de $\alpha, \beta, \gamma$ es negativo. Si todos son positivos, no hay nada que demostrar. Suponga que $\gamma < 0$. Ahora (1) puede escribirse como $-\alpha \beta -\gamma(\alpha+\beta) < T^2$. Desde $-\gamma < T$ tenemos que $-\alpha\beta - \gamma(\alpha+\beta) < -\alpha\beta +T(\alpha+\beta)$ y el último término es menos tham $T$ desde $(T-\alpha)(T-\beta)>0$

Ahora, estoy buscando otras soluciones para probarlo, por favor comentar

Answer 1

El sistema es homogéneo, por lo que WLOG $S=1$. Ahora todos los números son de $(0,1)$ y queremos demostrar $$a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)<1$$ Sustituto $a=1/(1+p)$, $b=1/(1+q)$, $c=1/(1+r)$, donde $p,q,r\in(0,\infty)$. Se convierte en \begin{align}\frac1{1+p}\frac q{1+q}+\frac1{1+q}\frac r{1+r}+\frac1{1+r}\frac p{1+p}&<1\\ q(1+r)+r(1+p)+p(1+q)&<(1+p)(1+q)(1+r)\\ p+q+r+pq+qr+rp&<1+p+q+r+pq+qr+rp+pqr\\ 0&<1+pqr\end{align} Y hemos terminado.

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Usted puede encontrar más soluciones aquí, que es básicamente la misma pregunta:
Encuentre el valor máximo de $x+y+z-xy-yz-zx$

Answer 2

Assmue triángulo equilátero $PQR$,y que denota el común de la longitud de los lados de un triángulo equilátero como $k$,y $$QL=x,LR=a,RM=y,MP=b,PN=z,NQ=c$$ entonces es claro $$S_{LRM}+S_{MPN}+S_{NQL}<S_{PQR}$$ entonces tenemos $$\dfrac{1}{2}ay\sin{60^{0}}+\dfrac{1}{2}bz\sin{60^{0}}+\dfrac{1}{2}cx\sin{60^{0}} <\dfrac{1}{2}k^2\sin{60^{0}}$$ así $$ay+bz+cx<k^2$$

Answer 3

He aquí una solución directa basada en la idea de encontrar el volumen de un cubo

$$ S ( ay + bz + cx ) = ay (c+z) + bz (a + x) + cx ( b+y) \leq ( a + x)( b+y)( c + z) = S^3 $$

por lo tanto, $ ay + bz + cz \leq S^3 $.

Además, la desigualdad estricta mantiene desde $abc >0, xyz > 0$.

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Ver aquí para más problemas en los que la desigualdad se resuelve con una interpretación geométrica.