Lineal vs no lineal de la ecuación diferencial

Question

Cómo distinguir ecuaciones diferenciales lineales de no lineal? ¿ Sé, por ejemplo, que: $$ y"-2y = \ln(x) $$ es lineal, pero $$ 3+ yy'= x - y $$ no es lineal. Por qué?

Answer 1

Ecuaciones diferenciales lineales son aquellas que pueden reducirse a la forma $Ly = f$ donde $L$ es de algún operador lineal.

Su primer caso es, en efecto lineal, ya que puede ser escrita como:

$$\left(\frac{d^2}{dx^2} - 2\right)y = ln(x)$$

Mientras que el segundo no lo es. Para ver esta primera reagrupamos todos los $y$ a un lado:

$$y(y'+1) = x - 3$$

luego simplemente un aviso de que el operador $y\mapsto g(y) = y(y'+1)$ es no lineal (por ejemplo, podemos tomar dos funciones $y_1$ e $y_2$ y el aviso de que $g(y_1+y_2)\neq g(y_1) + g(y_2)$).

Answer 2

Si la ecuación habría tenido $\ln (y)$ a la derecha, que también lo hubiera hecho no lineal, ya que la natural registros son funciones no lineales. Recuerde que esta tiene sus raíces en álgebra lineal: $y=mx+b$. Usted puede analizar las funciones de término a término para determinar si son lineales, si eso ayuda. La primera vez que un término es no-lineal, la ecuación es no lineal.

Recuerde que el $x$'s puede hacer casi ni aparecen, sin embargo quieren, ya que son independientes. Lo que significa que si usted no puede saber con sólo mirar, tratar de agrupar todos los su $y$ lo que se refiere a un lado y luego analizarlos. Hace que sea mucho más fácil.

A ver, yo también estaba overthinking esto, pero se dio cuenta de que tienes que ir a esas definiciones se nos ha dado.

Dos criterios de linealidad:

1. La variable dependiente y y sus derivadas son de primer grado; el poder de cada uno y es 1. $\frac{dy}{dx}$; sí. $\frac{dy}{dx}^4$, no.

2. Cada coeficiente depende sólo de la variable independiente $x$.

$yy'$ lo hace no lineal como se ha dicho, debido a que el coeficiente de en $y'$ no está en $x$. Había que coeficiente sido una constante, que habría sido correcto llamarlo lineal, puesto que las constantes pueden ser las funciones de $x$. Como, $f(3)=x$. Su gráfica es una línea, es decir, la función lineal.

Siempre vuelvo a las definiciones. :-)

Answer 3

Porque derivadas de orden más alto se multiplica con la variable dependiente $y$. Como $y y'$.