la desigualdad en la geometría

Question

Dado el triángulo $ABC$ ha $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$ y $M$ es un punto del triángulo plano. Probar que: \begin{align*} \cos \dfrac{A}{2} \cdot MA+\cos \dfrac{B}{2} \cdot MB+\cos \dfrac{C}{2} \cdot MC \geq \dfrac{a+b+c}{2}. \end{align*}

Mis intentos: \begin{eqnarray*} a \cdot \overrightarrow{IA}+b \cdot \overrightarrow{IB}+c \cdot \overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \dfrac{\cos \dfrac{A}{2}}{IA}\overrightarrow{IA}+\dfrac{\cos \dfrac{B}{2}}{IB}\overrightarrow{IB}+\dfrac{\cos \dfrac{C}{2}}{IC}\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}?????? \end{eqnarray*} con $I$ es el centro de la circunferencia inscrita de triángulo $ABC$. \begin{eqnarray*} \cos \dfrac{A}{2} \cdot MA=\dfrac{\cos \dfrac{A}{2}}{IA} \cdot MA \cdot IA\geq \dfrac{\cos \dfrac{A}{2}}{IA} \cdot \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{IA}. \end{eqnarray*} El mismo que, \begin{eqnarray*} \cos \dfrac{B}{2} \cdot MB &\geq& \dfrac{\cos \dfrac{B}{2}}{IB} \cdot \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{IB}\\ \cos \dfrac{C}{2} \cdot MC &\geq& \dfrac{\cos \dfrac{C}{2}}{IC} \cdot \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{IC}. \end{eqnarray*} Estoy atrapado aquí.

Answer 1

Aquí está mi prueba, basado en el principal resultado que si $DEF$ es el pedal del triángulo de $M$ entonces tenemos: $$\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cdot MA\ge \frac{AE+AF}{2}\qquad (1)$$ En resumen, podemos demostrar la desigualdad anterior por el uso de la fórmula para $\sin\alpha -\sin\beta$ a mostrar que $$\cos\left(\frac{A}{2}\right) \cdot MA = \dfrac{MF-ME}{2\sin\left(\dfrac{\widehat{MAF}-\widehat{MAE}}{2}\right)}\quad (2)$$ Luego, usamos el siguiente lema: Si $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico y $\widehat{B}=\widehat{D}=90^{\circ}$ entonces $$\dfrac{DA-DC}{BA+BC}\ge \sin\left(\dfrac{\widehat{ABD}-\widehat{CBD}}{2}\right) \qquad (3)$$ $(1)$ sigue de $(2)$ e $(3)$, lo que nos da la desigualdad original