Si una función $f$ es diferenciable en $[a,b]$ y su derivado $f^\prime$ es integrable, debe $f$ ser delimitada de variación?

Question

Yo sé que hay un teorema que dice que si $f$ definido en $[a,b]$ es de variación acotada, entonces es diferenciable en $(a,b)$ a.e y $f'$ es integrable sobre $[a,b]$.

Me pregunto si al contrario es cierto, digo, si $f$ definido en $[a,b]$ es diferenciable en $(a,b)$ a.e y $f'$ es integrable, debe $f$ han delimitado variación?

De hecho, yo corro en concreto pregunta: $$ f=x^\alpha \text{pecado}\left(\frac{1}{x^\beta}\right) \text{ para $x\in(0,1]$} $$ y $f(0)=0$. La sugerencia se dice que podemos comprobar que cuando $\alpha > \beta$, $f$ es de variación acotada, mostrando a $f'$ es integrable.

Así que aquí viene mi pregunta anterior, es que dicho argumento verdad?

Answer 1

Sabemos que, en las condiciones que en su problema, que la variación total de $f$ está dado por $$V_a^b(f)=\int_a^b|f'(x)|dx$$ and since you're given $f'$ integrable then yes: $f$ es de la b.v.

Añadido a la OP de la solicitud:

1), Bajo la condición de su pregunta, en cualquier subinterval $\,[\alpha,\beta]\subset [a,b]\,$, tenemos que para algunos $\,c\in (\alpha,\beta)\,,\,f(\beta)-f(\alpha)=f'(c)(\beta-\alpha)$

2) Si $\,\mathcal P:=\{a=x_1<x_2<...<x_{n_p}=b\}\,$ es una partición de $\,[a,b]\,$, el total de la variación de $f$ en este intervalo se define a ser $$V_a^b(f):=\sup_{\mathcal P}\sum_{k=1}^{n_p-1}\left|f(x_{i+1}-f(x_i)\right|$$

3) se Puede ver ahora de donde la integral de $f'$ viene?

Answer 2

Rudin, "Real y Análisis Complejo", Teorema 7.21: Si $f \in L^1[a,b]$ es diferenciable en cada punto, a continuación,$f(x) - f(a) = \int_a^x f'(t) dt$.

Ahora considere la posibilidad de $\psi_+(x) = \int_a^x \max(f'(t),0)\; dt$, $\psi_-(x) = \int_a^x \min(f'(t),0)\; dt$. Ambos son monótonas, por tanto, de una limitada variación. De ello se desprende que $f(x) = f(a)+\psi_+(x)+\psi_-(x)$ se ha acotado la variación.

Nota: Para aplicar Rudin del teorema, $f$ debe ser diferenciable en todas partes, no sólo una.e.