¿Textos de álgebra lineal?

Question

¿Puede alguien sugerir un texto de álgebra lineal relativamente suave que integre los espacios vectoriales y el álgebra matricial desde el principio? En el pasado he comprobado que los estudiantes reaccionan de forma muy negativa a la introducción de espacios vectoriales abstractos a mitad de curso. A veces da la sensación de que he entrado en clase y he dicho: "Olvidaos de las matemáticas. Vamos a aprender griego antiguo". A veces los alumnos se dan cuenta de que el griego también es interesante, ¡pero puede costar mucho convencerlos! Por eso me gustaría que los alumnos supieran, desde el principio, en qué se están metiendo.

¿Alguien sabe de algún texto que me ayude a hacer esto de manera no muy avanzada? Una posibilidad, supongo, es Linear Algebra Done Right de Axler, pero ¿hay otros? El libro de Axler podría ser demasiado avanzado.

¿O alguien me desaconsejaría intentarlo, basándose en experiencias anteriores?

Answer 1

A mí me gusta bastante el Álgebra Lineal Bien Hecha, y dependiendo del tipo de estudiantes a los que se dirija el curso, lo recomendaría por encima de Hoffman y Kunze . Ya que parecías preocupado de que Axler pudiera ser demasiado avanzado, mi sensación es que Hoffman y Kunze lo serán sin duda (especialmente si se trata de estudiantes a los que nunca se les ha enseñado matemáticas basadas en pruebas).

Por supuesto, la gran advertencia aquí es que Axler evita a toda costa los factores determinantes, lo que le obligará a introducirlos de forma exhaustiva.

Nunca lo he mirado, pero otro que vale la pena considerar podría ser Espacios vectoriales de dimensión finita de Halmos .

Answer 2

Para impartir el tipo de curso que ha descrito Dan, me gustaría recomendar "Álgebra lineal" de David Lay. Está muy bien pensado y escrito, con un nivel de dificultad uniforme, algunas aplicaciones, y varias rutas/cursos posibles que él explica en la edición del instructor. Los espacios vectoriales se introducen en el capítulo 4, después de los capítulos sobre sistemas lineales, matrices y determinantes. Debido a la redundancia incorporada, se puede llegar antes, pero no veo ninguna ventaja en ello. El capítulo sobre matrices tiene un par de secciones que "adelantan" el álgebra lineal abstracta estudiando los subespacios de $\mathbb{R}^n$ .

Answer 3

Sin duda, mi texto favorito es Álgebra Lineal de Hoffman y Kunze. El capítulo 1 es un repaso de las matrices. A partir de ahí, todo está integrado. La definición abstracta de un espacio vectorial se introduce en el capítulo 2 con una revisión de la teoría de campos. El capítulo 3 trata de las transformaciones lineales abstractas, así como de la representación de dichas transformaciones como matrices. No voy a contarte todos los capítulos, pero parece ser exactamente lo que quieres. Además, es muy flexible para impartir un curso. Incluye secciones sobre módulos y deriva el determinante tanto de forma clásica como utilizando el álgebra exterior. Los espacios normados y los espacios de producto interno se introducen en la segunda mitad del libro, y no dependen de algunas de las secciones más "algebraicas" (como las mencionadas anteriormente sobre módulos, tensores y el álgebra exterior).

Por lo que me han dicho, H&K ha sido el texto estándar de álgebra lineal durante los últimos 30 años más o menos, aunque las universidades lo han ido eliminando en los últimos años en favor de libros más "coloridos" con más énfasis en las aplicaciones.

Edición: Una última cosa. No he escuchado grandes cosas sobre Axler. Mientras que el libro logra sus objetivos de evitar las bases y las matrices durante casi todo el libro, he oído que los estudiantes que han tomado un curso modelado en Axler tienen un tiempo muy difícil calcular determinantes y no ganan un nivel suficiente de competencia con cálculos explícitos utilizando bases, que también son importantes. Según tu pregunta, parece que el enfoque de Axler tendría exactamente los mismos problemas que tú tienes actualmente, pero yendo en la "dirección opuesta", por así decirlo.

Answer 4

Hubo momentos en los que me gustaba bastante el Strang's Álgebra lineal y sus aplicaciones . Hace mucho tiempo que no lo miro, pero entonces me pareció muy claro y atractivo. Aunque no sigas el libro capítulo a capítulo, puede darte ideas.

Answer 5

No existe un texto ideal para un curso inicial de un semestre como el que se imparte en EE.UU. a estudiantes universitarios de primer o segundo año. Los libros más antiguos, como H&K tratan sólo la teoría abstracta, de forma bastante conceptual y (si recuerdo correctamente) con mapas escritos a la derecha, al contrario de lo que hacen los estudiantes de cálculo. Una generación posterior de libros como el Anton original son también libros de matemáticas puras, pero comienzan haciendo demasiado hincapié en las manipulaciones irreales con pequeñas matrices y vectores; luego hay un cambio abrupto hacia la abstracción. Los determinantes se presentan en un modo puramente computacional, como si como si realmente se utilizaran para este fin; luego los valores propios aparecen muy tarde y de nuevo en pequeños ejemplos demasiado simplificados. Afortunadamente, los textos más recientes tienden a mezclar a mezclar lo puro y lo aplicado, pero como resultado contienen demasiado material para un primer curso. Y la teoría de los valores propios sigue introduciéndose muy tarde. Strang es atractivo en muchos aspectos, pero está redactado de forma demasiado suelta y no es adecuado para un lector inexperto sin una guía fiable a mano. Aparte de de Strang, el énfasis en la mayoría de los libros de texto de EE.UU. sigue estando puesto en cálculos cálculos enteros poco realistas con matrices muy pequeñas en lugar de en la geometría de subespacios, etc. El papel omnipresente del pensamiento geométrico en la asignatura se El papel dominante del pensamiento geométrico en la asignatura se minimiza en los textos, al igual que el papel del análisis. Para el autoaprendizaje, algo como Friedberg-Insel-Spence puede ser la mejor opción de compromiso.