Probar que si $AA^T=A$ entonces $A^3=A$

Question

El enfoque que me gustaría utilizar para demostrar esta propiedad en particular, requiere que los $A$ ser invertible, pero yo no deseen asumir este (a pesar de que sin duda hacen la tarea más sencilla).

Hay alguna propiedad que muestra $A$ a sea invertible que estoy con vistas, o es que tal vez necesito usar un método diferente de la prueba?

Answer 1

Invertibility no tiene nada que ver con esto. Tenga en cuenta que $$ A^T=(AA^T)^T=AA^T=A. $$ A continuación,$A^2=AA^T=A $.

Answer 2

A partir de la dada:

$$A = AA^T= (A^T)^TA^T= (AA^T)^T = A^T$$

$ \implies A = A^T$

Ahora la reutilización de este en la expresión inicial para obtener:

$$A = AA^T = AA = A^2$$

$\implies A = A^2$

Así

$$A^3 = A^2 A = AA = A^2 = A$$