Para la pregunta 2, una forma es la siguiente: podemos identificar el conjunto ${\mathbb R}\setminus{\mathbb Q}$ de irrationals con el conjunto ${}^\omega\omega$ de las funciones de $\omega$ a $\omega$, por ejemplo, mirando continuó fracción representaciones. (Hay otras formas, jugando con las expansiones decimales, por ejemplo).
Ahora, cada natural puede ser visto como la codificación de dos, decir $a$ códigos de $(b,c)$ fib $a+1=2^b(2c+1)$. (De nuevo, hay otras maneras.)
El punto es que esto nos da una manera de asociar a cada uno de los irracionales $r$ binario relación en $\omega$, es decir, que hemos asociado $r$, con el set de $\{(b_0,c_0),(b_1,c_1),\dots\}$. Aquí, primero $r$ se asoció con una secuencia $(a_0,a_1,\dots)$, y, a continuación, cada una de las $a_i$ se identificó con un par $(b_i,c_i)$.
Ok. Si la relación asociada a $r$ es un buen orden de $\omega$ tipo $\omega+\alpha$, luego de mapa de $r$ a $\alpha$. Otra cosa, el mapa de $r$ a 0. Este es un surjection de ${\mathbb R}$ a $\aleph_1$. No usamos elección. Que es surjective viene de anotar que para cualquier $\alpha<\omega_1$ no es un buen orden de $\omega$ tipo $\omega+\alpha$, y los códigos descritos anteriormente son reversibles, por lo que cualquier buen orden es la imagen de algunos de los $r$ bajo la codificación hemos descrito.
El conjunto de $r$ que el código bien ordenamientos es generalmente llamado WO y juega un papel importante en el descriptivo de la teoría de conjuntos; la construcción que se describe está "canónica" en algún sentido. Por otro lado, sin elección no podemos demostrar la doble consecuencia de que hay una inyección de $\omega_1$ a ${\mathbb R}$.
Para la pregunta 1, se argumenta por la inducción que un conjunto estacionario contiene cerrado copias de $\alpha+1$ cualquier $\alpha<\omega_1$. El siguiente es de un conjunto de notas que escribí para un curso que me enseñaron hace un tiempo:
Deje $ S\subseteq\omega_1$ ser un determinado conjunto estacionario, y argumentar por inducción en $ \alpha<\omega_1$ que $ S$ contiene cerrado copias $ t$ de % de $ \alpha+1$ con $ \min(t)$ arbitrariamente grande. (Por supuesto, si el resultado se mantiene, este debe ser el caso: Dado cualquier $ \gamma<\omega+1$, aviso que $ S\setminus(\gamma+1)$ es estacionaria, por lo que debe contener un cerrado de copia de $ t$ de % de$ \alpha+1$, e $ \min(t)<\gamma$.)
Esta versión reforzada tiene trivialmente para $ \alpha$ finito o sucesor, por inducción. Por lo que es suficiente para mostrar que para $ \alpha$ límite, asumiendo que se mantiene para todos los ordinales. Definir un club de $ C\subseteq\omega_1$ con el aumento de la enumeración $ \{\gamma_\beta:\beta<\omega_1\}$ como sigue:
Deje $ (\alpha_n:n<\omega)$ ser estrictamente creciente y cofinal en $ \alpha$. Desde $ S$ contiene cerrado copias $ A_n$ de % de $ \alpha_n+1$ para todos los $ n$, con sus mínimos arbitrariamente grande, por la elección de copias $ A_n$ con $ \min(A_{n+1})>\max(A_n)$ y tomando su unión, vemos que $ S$ debe contener copias de $ \alpha$, cerrado en su supremum, con arbitrariamente grande, mínimo elemento. (No estoy afirmando que $ A=\bigcup_n A_n$ construido de esta manera ha pedido tipo $ \alpha$. Por ejemplo, si $ \alpha=\omega+\omega$ e $ \alpha_n=\omega+n$,, a continuación, $ A$ habría tipo de orden $ \omega^2$; sin embargo, para asegurarse $ A\subset S$ está cerrado en su supremum y ha pedido tipo de , al menos, $ \alpha$. Por lo que un adecuado segmento inicial de $ A$ es como quería.)
Deje $ \gamma_0$ ser el supremum de una copia de $ \alpha$. En el límite de los números ordinales $ \beta$, vamos a $ \gamma_\beta=\sup_{\delta<\beta}\gamma_\delta$. Una vez $ \gamma_\beta$ está definido, encontrar una copia de $ \alpha$ dentro $ S$ con un mínimo de más de $ \gamma_\beta$, y deje $ \gamma_{\beta+1}$ ser su supremum.
El conjunto $ C$ así construido es el club, por lo que cumple con $ S$. Si se reúnen en $ \gamma_0$ o en $ \gamma_{\beta+1}$, esto inmediatamente nos da un cerrado copia de $ \alpha+1$ dentro $ S$. Si se reúnen en una $ \gamma_\beta$ con $ \beta$ límite, vamos a $ (\beta_n:n<\omega)$ ser estrictamente creciente y cofinal en $ \beta$, y considerar la posibilidad de una adecuada segmento inicial de $ A=(\bigcup_n A_n)\cup\{\gamma_\beta\}$ donde $ A_n$ es un cerrado copia de $ \alpha_n+1$ en $ S\cap[\gamma_{\beta_n},\gamma_{\beta_{n+1}})$.
Permítanme añadir que, si uno está familiarizado con el método de forzar, no es un buen argumento para la pregunta 1. (Esta es quizás una exageración, pero una buena en cualquier caso.)
Es decir, dado cualquier estacionaria subconjunto $S$ de % de$\omega_1$, no es forzar un poset que añade un club subconjunto de $S$, mientras que los no añadir ninguna nueva contables de las secuencias de los contables de los números ordinales. Esto significa que la inicial adecuada de los segmentos del club son subconjuntos de $S$ que están en $V$, y, por supuesto, están cerrados en su supremum, así que esto nos da inmediatamente el resultado.
El poset es la natural: las Condiciones están cerrados segmentos inicial de $S$, y el orden es el final de extensión. Toma un poco de trabajo para ver que esta poset, de hecho, hace el trabajo; esto se presenta generalmente en el contexto apropiado de forzar, ya que este es un ejemplo de una $S$-correcto poset. Este es un argumento que se remonta a mediados de los años setenta y es debido a Baumgartner-Harrington-Kleinberg. Es específico a $\omega_1$, no hay generalizaciones naturales de papelería subconjuntos de los grandes cardenales.
