Dadas dos isomorfo estructuras, de manera conservadora se extiende de ellos pueden romper isomorfismo. Por qué?

Question

Ejemplo: supongamos que tenemos dos sistemas de Peano (con 2º orden axiomatization). En un sistema, el elemento inicial es 0, y en el otro, es 1. Para referencia, aquí están los axiomas mencionados en Mendelson Número de Sistemas y las Bases de Análisis (que se supone elemento inicial es 1):

Estos dos sistemas son isomorfos (cambie de 1 a 0 para obtener teoremas en el otro sistema, y viceversa).

Sin embargo, cuando ampliamos cada sistema mediante la adición de la definición de la suma (que respeta la intuición), el isomorfismo ya no se sostiene. Por ejemplo, el sistema con 0 como elemento inicial tiene un inverso aditivo, pero el sistema con 1 como elemento inicial no.

¿Por qué debería ocurrir incluso aunque la definición de adición, de manera conservadora, se extiende cada sistema? También, hace que este fenómeno tiene un nombre?

Definición de conservador de extensión de https://en.wikipedia.org/wiki/Conservative_extension.

un conservador es una extensión supertheory de una teoría que es a menudo conveniente para la demostración de teoremas, pero demuestra que no hay nuevos teoremas sobre la el lenguaje de la teoría original.

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EDIT: Gracias por las respuestas y comentarios. Voy a tratar de explicar lo que creo que la causa de mi confusión: Si una definición es legal, entonces para cada wff $\varphi$ mediante el uso de un símbolo definido, existe una wff $\varphi'$ en la extendió lenguaje donde el símbolo es eliminado, y $\varphi$ e $\varphi'$ son equivalentes.

Así que, aunque además se define de manera diferente en los dos sistemas de Peano anteriormente, los teoremas que involucran la adición de un símbolo puede ser reducido a equivalente teoremas que no impliquen, en la extendió idioma. Desde estos teoremas son en el extendió la lengua, están contenidas en las dos extensiones.

Creo que era confundir este tipo de equivalencia de los dos sistemas de Peano con el isomorfismo de estos dos sistemas, que es una cuestión diferente. Isomorfismo significa simplemente una diferencia de nomenclatura pero de la misma estructura. Eliminación de definiciones acerca de la lógica de la equivalencia independientemente de su estructura.

Tal vez este es irremediablemente complicado de pensar, pero que finalmente va a estudiar esta materia de una manera adecuada, creo que me acaba de saltar demasiado pronto.

Answer 1

Realmente no hay nada de sorprendente acerca de todo esto. ¿Por qué debe el extendido de las estructuras de ser isomorfo, sólo porque son cada uno de los modelos de conservador de las extensiones de la teoría original? Conservativity dice que la nueva estructura y los axiomas no te darán nuevos teoremas acerca de la estructura original, pero no hay ninguna razón usted no podría haber dos diferentes, no isomorfos de nuevas estructuras con esta propiedad.

Creo que un simple ejemplo es instructivo. Deje $n$ ser su favorito entero positivo y considerar el primer orden de teoría de un conjunto con $n$ elementos, con ninguna de las funciones o relaciones a todo (además de la igualdad). Esta teoría es bastante trivial completa, por lo que cualquier ampliación consecuente de forma automática, conservador. Pero hay un montón de posibles extensiones que no tienen isomorfo modelos de: si se introduce un solo relación símbolo, entonces hay varias interpretaciones de este símbolo podría tener en un conjunto con $n$ elementos, y que no todos sean isomorfos.