La Baer-McCoy (un.k.una. prime) radical de $A$

Question

Deje $B$ un anillo y deje $A$ un sub-anillo de $B$.

1. Mostrar que $A\cap \mathrm{Nil}_{*}(B)\subset \mathrm{Nil}_{*}(A)$.
2. Si $A$ está contenida en el centro de la $B$, muestran que $A\cap \mathrm{Nil}_{*}(B)=\mathrm{Nil}_{*}(A)$.

La notación $\mathrm{Nil}_{*}(A)$ siendo el más bajo nilradical, radical de Baer-McCoy, o el primer radical de $A$. $$\mathrm{Nil}_{*}(A)=\sqrt{(0)}$$

Sé que si $A$ es conmutative luego de la igualdad en la 2) trivialmente sostiene.

Te pido tu ayuda en la sección 1.

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Podría ser útil que el $Nil_{*}(B)$ es el conjunto de nilpotent elementos?

Answer 1

(Sugerencias a lo largo de la ruta de acceso de $m$-sistemas, ala Manny Reyes de la sugerencia.)

Un conjunto $S\subset R$ es llamado un $m$-sistema si siempre $a,b\in S$ existe $r\in R$ tal que $arb\in S$.

Se puede comprobar que $P$ es un alojamiento ideal iff $R\setminus P$ es $m$-sistema.

Ahora también a lo largo de las líneas de la propiedad conmutativa de la versión de multiplicativa de los sistemas, usted puede mostrar (por la rutina, el Lema de Zorn argumento) que un ideal maximal con respecto a ser disjunta de una $m$-sistema es un alojamiento ideal.

Así: supongamos que $a\in A$, pero hay un alojamiento ideal $P\lhd A$ tal que $a\notin P$. A continuación, $A\setminus P$ es $m$-sistema de $A$, y también en $B$. Deducir que hay un primer ideal de $B$ que no contengan $a$. A partir de este, a la conclusión de que la contención de que el deseo se sostiene.