Demostrar que el si $\sum{a_k}$ converge, entonces $\sum{a_k^2}$ converge

Question

Probar que si $a_k\ge0$ e $\sum{a_k}$ converge, entonces $\sum{a_k^2}$ también converge.

No estoy lejos de todos, de nuevo a tratar de demostrar expresiones matemáticas... de todos modos todo lo que he escrito es $a{_k^2}\le{a_k}$

Tiene sentido que si una serie es convergente, a continuación, ajustarlo haría converger más rápido, al menos como k es cada vez más grande a sabiendas de $\lim\limits_{k\to \infty} a_k=0$ para convergente la serie...pero, ¿cómo puedo mostrar esto en general?

Answer 1

Aquí es una breve respuesta a una pregunta breve:

1. Justificar que hay un $N$ tal que para todo $n > N$, $a_n < 1$.
2. Ignorar lo finito suma de $1$ a $N$.
3. Utilice su observación de que $a_n^2 < a_n$ y básica comparación a la conclusión de que la $\sum a_n^2$ es finito.

Answer 2

Desde $a_k\ge0$ e $\sum{a_k}$ converge, $a_k\to0$, por lo que hay un $K$, para $k>K$, $a_k<1$. Así $$ \sum_{k=K}^{\infty}un{_k^2}\leqslant \sum_{k=K}^{\infty}un{_k}<\infty $$ lo que significa que $$ \sum_{k=1}^{\infty}un{_k^2}=\sum_{k=1}^{K-1}a{_k^2}+\sum_{k=K}^{\infty}un{_k^2}<\infty $$

Answer 3

Sugerencia: Utilice el límite de la prueba de comparación (términos positivos, de lo contrario ambos son triviales para un gran $n$). $$ \lim_{n\to \infty} \frac{a_n^2}{a_n}= \lim_{n\to \infty} a_n = 0 $$

Hint2: suma Parcial de la secuencia de $w_n$ donde $$w_n := \sum_{k=1}^n a^2_k,$$ es convergente ya que es claramente creciente y acotada desde arriba como $$ w_n \leq \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)^2,$$ como se sugiere en los comentarios.

Answer 4

Deje $A_n = \sup_{m\ge n} \sum_{j=n}^{j=m} (a_j)$ . Deje$ B_n= \sup_{m\ge n} \sum_{j=n}^{j=m} (a_n^2).$ Desde $a_n \ge 0$ e $\sum a_n$ converge, tenemos $\lim_{n \to \infty} A_n=0 .$ Y para todos, pero un número finito de $n$ tenemos $0\le a_n\le 1$ y, por tanto, $0\le a_n^2\le a_n$ (de lo contrario $ \sum a_n$ no convergen.) Por lo tanto, $0 \le B_n \le A_n$ para todos, pero un número finito de $n$, lo $\lim_{n \to \infty} B_n=0$. Que es necesario y suficiente para $\sum a_n^2$ a converger. NOTA: La hipótesis de $a_n\ge 0$ es necesario. Por ejemplo, si $a_{2 n}=1/\sqrt n$ e $a_{2 n -1}=-1/\sqrt n$ entonces $\sum_{n=1}^{\infty} ( a_n)=0$ e $\sum a_n^2$ diverge.