$f \in L^1$, hace que implican $f(\lfloor x \rfloor) \in L^1$?

Question

Como dice el título, estoy trabajando en un problema y me gustaría saber si existe una relación entre una función $f$ ser integrable y la función de $f(\lfloor x \rfloor)$ ser integrable. Uno puede mostrar que

$$\int|f(x) - f(\lfloor x \rfloor)|dx + \int |f(x)|dx \geq \int|f(\lfloor x \rfloor)|dx$$

así que si la primera integral de la izquierda converge, entonces $f(\lfloor x \rfloor)$ debe ser integrable. Es cierto que el integrando es acotado a una.e, pero más de los que yo no he sido capaz de mostrar.

Es la declaración aún cierto, y si es así consejos sobre cómo mostrar esto?

Answer 1

Considere la función $\Phi(x)=\begin{cases}0&\text{if }\lvert x\rvert\ge1\\ \exp\frac1{x^2-1}&\text{if }\lvert x\rvert<1\end{cases}$ e $\phi(x)=\frac{\Phi(t)}{\int_{-1}^1\Phi(t)\,dt}$. Observe que $\int_\Bbb R\phi(t)\,dt=1$ e $\max_{t\in \Bbb R} \phi(t)=\phi(0)>0$.

Considere la posibilidad de $\phi_n(t)=\phi(n^2(t-n))$. Esta función satisface $\int_{\Bbb R}\phi_n(t)\,dt=\frac1{n^2}\int_{\Bbb R}\phi(t)\,dt=n^{-2}$. Su máxima es$\phi_n(n)=\phi(0)$, y su apoyo es el intervalo de $[n-n^{-2},n+n^{-2}]$.

La función de $f(x)=\sum\limits_{n= 2}^\infty\phi_n(x)$ satisface $$\int_{\Bbb R}\lvert f(t)\rvert\,dt=\int_{\Bbb R}f(t)\,dt=\sum_{k\ge2}\frac1{k^2}<\infty\\ f(\lfloor x\rfloor)=\begin{cases}\phi(0)&\text{if }x\ge 2\\ 0&\text{if }x<2\end{cases}$$ Esto hace que sea un contraejemplo a su reclamo.

Answer 2

Muy bien, entonces parece que la afirmación no es cierta. He encontrado un contraejemplo a la que he añadido a mi post, pero una aún más simple se da en los comentarios por Wojowu y Lionel Ricci

Sugerencia: ¿y si ff es apoyado por los números enteros? – Wojowu

Lo que si f(x)=1f(x)=1 si xx es un número entero, y =0=0 los demás? – Lionel Ricci

Gracias!