Probabilidad de haber volteado siempre más $H$ que $T$ en una secuencia infinita de lanzamiento de monedas

Question

Una moneda sesgada tiene la probabilidad $p \in [0,1]$ de los cabezales de aterrizaje ( $H$ ) y, por tanto, la probabilidad $1-p$ de colas de aterrizaje ( $T$ ). Lanzaremos esta moneda infinitas veces, obteniendo una secuencia $(x_i)_{i=1}^\infty$ de vueltas, donde $x_i \in \{H, T\}$ para $i \in \mathbb{N}$ . ¿Cuál es la probabilidad de que para todos los $N \in \mathbb{N}$ , $(x_i)_{i=1}^N$ contiene estrictamente más $H$ s que $T$ s?

He intentado usar el Teorema de la Boleta y tomar límites, pero nada ha parecido funcionar hasta ahora.

Answer 1

La probabilidad que buscamos es que el primer lanzamiento salga cara, y que nunca haya un empate después (por lo tanto, nunca un primero empate). Esta probabilidad es $$A = p\left(1 - \sum_{n=1}^{+\infty} a_n\right), $$ donde (condicionado a que salga cara en el primer lanzamiento) $a_n$ es la probabilidad de que la cabeza esté siempre por delante hasta que se produzca el primer empate en $2n$ voltea.

Tenemos $a_n = N_n p^{n-1}(1-p)^n$ , donde $N_n$ es un número entero que puede describirse como sigue. $N_n$ es el número de trayectorias en el plano, en las que un paso consiste en desplazarse una unidad hacia la derecha o una unidad hacia arriba, que van de $(0,1)$ a $(n-1,n)$ sin tocar nunca la diagonal. El método de reflexión descrito aquí muestra que este es el número catalán $C_{n-1}$ . Por lo tanto, dejar que $c(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} C_n x^n$ tenemos $$A = p - p\sum_{n=1}^{+\infty} C_{n-1}p^{n-1}(1-p)^n = p-p(1-p)c[p(1-p)].$$

Utilizando la fórmula $xc(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{1-4x}$ de la misma fuente de Wikipedia nos da $$A = p - \frac{1}{2}\left(1 - \sqrt{1 - 4p + 4p^2}\right) = \frac{1}{2}(2p-1 + |2p-1|).$$

Dicho de forma más sencilla, $A = 2p - 1$ si $p > 1/2$ y $A = 0$ de lo contrario.

Answer 2

Un método alternativo: Un jugador gana $1$ unidad con probabilidad $p$ y pierde 1 unidad en caso contrario. Sea $q=1-p.$ El jugador está jugando contra un casino infinitamente rico. La pregunta, tal y como se ha planteado, corresponde a un jugador que empieza con un capital 0 y que gana la primera apuesta y luego nunca se arruina (nunca vuelve a tener un capital 0).

Supongamos que el jugador comienza con un capital 0 y gana la primera apuesta, por lo que su capital es ahora 1. La probabilidad de que el jugador acabe arruinándose a partir de este estado es $q/p,$ si $p>0.5$ y 1 si $p\le 0.5$ mediante la resolución de ecuaciones en diferencia. (Ver Feller Vol. 1, Cap. XIV o este ). Por lo tanto, la probabilidad deseada de ganar la primera apuesta y no arruinarse nunca es $$p(1-q/p)=2p-1,\text{ if }p>0.5 $$ y 0 si $p\le 0.5$