Suma utilizando el coeficiente binomial.

Question

Estoy tratando de calcular lo siguiente utilizando los coeficientes binomiales y la suma, pero mi memoria se está interponiendo en el camino:

$$ \ sum_ {k = 1} ^ n {k} * 2 ^ {k - 1} $$

¡Gracias!

Con gran ayuda llegué a:

PS

¿Puedes por favor confirmar esto?

Answer 1

Pista: cambiar a funciones polinomiales. $$ P (x) = \ sum_ {k = 1} ^ n kx ^ {k-1} $$

Answer 2

La solución de Clement C es el mejor enfoque. Hay otro enfoque, sin embargo.

Observe que $$ \ sum_ {k = 1} ^ n k2 ^ {k-1} = \ sum_ {k = 1} ^ n \ sum_ {i = 1} ^ k 2 ^ {k-1} $$ porque$k=\sum_{i=1}^k 1$. Al invertir el orden de la suma, obtienes $$ \ sum_ {k = 1} ^ n k2 ^ {k-1} = \ sum_ {i = 1} ^ n \ sum_ {k = i} ^ n 2 ^ {k -1} $$ Una solución de forma cerrada ahora se puede encontrar fácilmente para la suma interna, que producirá una forma que se puede usar para encontrar una solución de forma cerrada para la suma externa.

Answer 3

Aquí hay otro enfoque, usando $$ \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} = 2 ^ n $$ y $$ \ sum_ {k = j} ^ n \ binom {k} {j } = \ binom {n +1} {j +1} $$ para obtener $$ \begin{align} \sum_{k=1}^nk\,2^{k-1} &=\sum_{k=1}^nk\,\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k-1}{j}\\ &=\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=j+1}^n(j+1)\binom{k}{j+1}\\ &=\sum_{j=0}^{n-1}(j+1)\binom{n+1}{j+2}\\ &=\sum_{j=1}^nj\binom{n+1}{j+1}\\ &=\sum_{j=1}^n(j+1)\binom{n+1}{j+1}-\binom{n+1}{j+1}\\ &=\sum_{j=1}^n(n+1)\binom{n}{j}-\binom{n+1}{j+1}\\ &=(n+1)(2^n-1)-(2^{n+1}-n-2)\\[12pt] &=(n-1)2^n+1 \end {align} $$

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Verificación

Por supuesto, para verificarlo, podemos probar la inducción.

La fórmula funciona para$n=1$:$1=1$.

Suponga que la fórmula funciona para$n-1$, luego $$ \begin{align} \sum_{k=1}^nk\,2^{k-1} &=n\,2^{n-1}+\sum_{k=1}^{n-1}k\,2^{k-1}\\ &=n\,2^{n-1}+(n-2)2^{n-1}+1\\[9pt] &=(n-1)2^n+1 \end {align} $$ Por lo tanto, es cierto para todos$n\ge1$.

Answer 4

Aquí hay otra aproximación.

∑k.2 ^ (k-1)

Sea f (x) = ∑kx ^ (k-1)

∫f (x) dx = ∑∫kx ^ (k-1) dx

∫f (x) dx = ∑x ^ k

∫f (x) dx = x + x ^ 2 + x ^ 3 + …………………. X ^ n

∫f (x) dx = x (x ^ n-1) / (x-1)

Diferenciando ambos lados

f (x) = (nx ^ (n +1) - (n +1) x ^ n + 1) / (x-1) ^ 2

poner x = 2 f (2) = (n-1) 2 ^ n +1