Cálculo de grupos de cohomología de curvas elípticas.

Question

Estoy rozando a través de Silverman del texto para recordar algunos de la teoría de curvas elípticas que he aprendido en el bachillerato. En la práctica, sin embargo, estoy teniendo problemas en realidad la computación de la cohomology grupos. Por ejemplo, sé que intuitivamente que $H^1(\mathbb{F}_q,E)$ desaparecerá, pero, ¿cómo hace uno para mostrar esto? De forma análoga, ¿cómo hace uno para calcular $H^1(\mathbb{R},E)$?

Sé que para un campo de $k$ e $n\in\mathbb{Z}$, el correspondiente mapa de $n:E(\bar k)\to E(\bar k)$ es surjective. Esto le da una secuencia exacta \begin{equation} 0\to E(\bar k)[n]\to E(\bar k)\to^n E(\bar k)\to 0, \end{equation} que más da la exacta secuencia de \begin{equation} 0\to E(k)[n]\to E(k)\to^n E(k)\to H^1(k,E(\bar k)[n])\\ \hspace{5em}\to H^1(k,E(\bar k))\to^n H^1(k,E(\bar k)). \end{equation} Por lo tanto, de la larga secuencia exacta que hemos \begin{equation} 0\to E(k)/nE(k)\to H^1(k,E(\bar k)[n])\to H^1(k,E(\bar k))[n]\to 0. \end{equation} ¿Cómo se puede utilizar esto para calcular cohomology sobre un campo finito o los números reales?

Answer 1

Tanto los cálculos de preguntar acerca de se realizan en esta conferencia nota de la mina WC-grupos: consulte las páginas 5-7. Mariano de la observación se utiliza en el antiguo cómputo; también es lo que tengo en mente en "Ejercicio 6", aunque si sigues leyendo verás el cálculo rehecho varias veces más en el aficionado maneras.

(Una prueba del Teorema 5 de la nota de arriba aparece en $\S 3$ de esta eternamente, no termina con el papel de la mina.)

$\newcommand{\F}{\mathbb{F}}$ Añadido: Otra mancha de prueba de que $H^1(\F_q,E) = 0$ es de destacar que un elemento distinto de cero daría un género de una curva de $C_{/\mathbb{F}_q}$ sin $\F_q$-racional punto. Pero Weil demostrado que para cualquier curva de $C_{/\mathbb{F}_q}$ de género $g$, $|\# C(\F_q) - (q+1)| \leq 2g \sqrt{q}$. Al $g = 1$ esto implica $\# C(\F_q) > 0$(!!).