He tenido muy poco éxito en la búsqueda en la web para una rigurosa construcción en el anillo ($A = \mathbb{Z}$) en el caso de que algún tiempo atrás y le dio en la final. Sin embargo esta comprobado que es útil y lo voy a resolver esto y escribe la solución completa en el caso general de álgebras de más de un (propiedad conmutativa) anillo de $k$. La siguiente construcción fue comunicada a mí por el Prof. Gigel Militaru; por lo que entendía la fuente original parece oscuro.
Por lo tanto, empezar con un anillo de tierra $k$ y una (posiblemente infinita) de la familia de $k$-álgebras $(A_i)_{i \in I}$ y deje $T$ ser el tensor de la álgebra de la suma directa de $M$ de todos los $A_i$ considerado como $k$-módulos.
Vamos a utilizar el hecho de que el tensor de álgebra es el "más pequeño" de álgebra que contiene un módulo, en el sentido de que viene equipado con un $k$-lineal de morfismos $\alpha : M \to T$ tal que para todos los $k$-álgebras $A$ $k$- lineal $f : M \to A$, hay un único $k$-álgebra de morfismos $g : T \to A$ tal que $g \circ \alpha = f$.
Ahora, vamos a $\alpha_i = \alpha \circ j_i$ donde $j_i : A_i \to M$ son de la canónica de monomorphisms y $\alpha$ es la inclusión acabo de mencionar. Por supuesto, $\alpha_i$ aún no $k$-álgebra de mapas, ya que $j_i$ no son multiplicativas, así que tenemos que hacerlos así.
Deje $I$ ser las dos caras ideal generado por todas las relaciones que se $\alpha_i(ab) - \alpha_i(a)\alpha_i(b)$$1_T - \alpha_i(1_{A_i})$. Deje $A = T/I$ $\gamma_i = \pi \circ \alpha_i$ donde $\pi : T \to T/I$ es la canónica mapa. El reclamo es que el $A$ junto con todos los $\gamma_i$ es el subproducto.
Es obvio que $\gamma_i$ $k$- álgebra de mapas. Deje $(B, \eta_i : A_i \to B)$ ser un par formado por una $k$-álgebra $B$ $k$- álgebra morfismos. Estos se extienden a una $k$-lineal mapa de $\eta : M \to B$, y por la indicada propiedad de $T$, $k$- álgebra de mapa de $\eta' : T \to B$. Desde $\eta_i = \eta' \circ \alpha_i$, podemos factor a través de $T/I$ encontrar el deseado de morfismos universal de los bienes. La unicidad se sigue de la unicidad en las tres propiedades universales.
