Probabilidad de exactamente una caja vacía cuando n bolas son colocadas al azar en n cajas.

Question

Cada una de las $n$ bolas se coloca de forma independiente en una de las $n$ cajas, siendo todas las cajas igualmente probables. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una caja esté vacía? (Introducción a la Probabilidad, Blitzstein y Nwang, p.36).

• El número de permutaciones posibles con repetición es $n^n$

• Para tener una caja vacía, necesitamos una caja diferente con $2$ bolas en ella. Tenemos $\dbinom{n}{1}$ opciones para la caja vacía, $\dbinom{n-1}{1}$ opciones restantes para la caja con $2$ bolas, y $(n-2)!$ permutaciones para asignar las bolas restantes a las cajas restantes.

• Resultado: $$\frac{\dbinom{n}{1} \dbinom{n-1}{1} (n-2)!}{n^n}$$

¿Es esto correcto?

Answer 1

Su enfoque (aunque bueno) tiene un defecto en el segundo punto. El problema es que allí cuenta dos cosas diferentes: por un lado, formas de elegir una caja y, por otro lado, formas de elegir una bola, lo que resulta en una confusión. En detalle

1. Su denominador es correcto,
2. A su numerador le falta un término que debería expresar la cantidad de formas en las que puede elegir las $2$ bolas de $n$ que colocará en la caja elegida con las $2$ bolas. Esto se puede hacer de $\dbinom{n}{2}$ formas.
3. Los otros términos en su numerador son correctos. Tenga en cuenta que su numerador se puede escribir de forma más sencilla como $$\dbinom{n}{1}\dbinom{n-1}{1} (n-2)!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!=n!$$

Agregando el término omitido, se obtiene el resultado correcto que difiere del suyo solo en este término (el resaltado) $$\frac{\dbinom{n}{1}\color{blue}{\dbinom{n}{2}} \dbinom{n-1}{1} (n-2)!}{n^n}=\frac{\dbinom{n}{2}n!}{n^n}$$

Answer 2

Puedes pensar en el número de arreglos favorables de la siguiente manera: elige la caja vacía de $\binom{n}{1}$ formas. Para cada elección, elige la caja que tendrá al menos $2$ bolas (tiene que haber una caja así) de $\binom{n - 1}{1}$ formas. Y para esta caja, elige las bolas que irán dentro de $\binom{n}{2}$ formas. Ahora permuta las bolas restantes en $(n - 2)!$ formas.

Por lo tanto, el número de arreglos favorables es:

$$ \binom{n}{1} \binom{n - 1}{1} \binom{n}{2} (n - 2)! = \binom{n}{2} n! $$