¿Un adjunto de derecha homotópico preservará los límites de homotopía?

Question

Deje $M$ e $N$ ser homotopical categorías (ambos completos) y $I$ una categoría pequeña. Supongamos que tenemos derecho deformaciones para el límite de functors $M^I \to M$ e $N^I \to N$, por lo que tenemos (no total) derecho de derivados \begin{align} \text{holim} : M^I &\to M \\ \text{holim} : N^I &\to N.\end{align} Supongamos ahora que tenemos un derecho-adjoint functor $F: M \to N$ (por lo que los desplazamientos con el límite) que es, además, homotopical, es decir, conserva todos débil equivalencias. Pregunta: hay una natural débil equivalencia entre el $\text{holim} \circ F$ e $F\circ \text{holim}$? En otras palabras: Se $F$ (aplicado a los diagramas) también preservar homotopy límites? Si esto no es cierto, lo que podría haber requisitos adicionales en $F$ hacer realidad?

Gracias por las sugerencias.

Addendum: tengo un poco más de problema concreto en mente, en que $M$ está dada por la no-negativo cochain complejos y $N$ de los no-negativa de los complejos de la cadena. Creo que podría realizar una prueba directa de la computación si puedo encontrar descripciones concretas de la cotensors en estos simplicial categorías de modelo. Sólo he encontrado de ellos para la (co)simplicial Abelian grupos y estoy un poco inseguro de cómo transferirlos a los complejos. Alguien ha visto que por escrito de forma explícita?

Answer 1

Los tensores y cotensors en los complejos de la cadena a través de la Moore complejo realización de simplicial conjuntos. Por ejemplo, el complejo de Moore de que el intervalo de más de un anillo conmutativo $R$ es $...\to 0\to R\to R\oplus R\to 0\to...$ donde el trivial mapa es $(1,-1)$. El cotensor con el intervalo, es decir, el objeto de trazado, es el complejo de los mapas de este complejo. En general, usted puede escribir una fórmula para cualquier cotensor como un límite de cotensors por simplices, a pesar de que podría no ser lo suficientemente explícitas como para sus necesidades.

Para tu problema abstracto: dejar que las deformaciones ser $R_M, R_N$. A continuación, $$F(\mathrm{holim}D)=F( \mathrm{lim}(R_M(D)))\cong \mathrm{lim}F\circ R_M(D)...\mathrm{lim}R_N F\circ D=\mathrm{holim} F\circ D$$ Así vemos que el problema se concentra en que los puntos suspensivos. Podemos llenar con el débil equivalencias $r_D:D\to R_MD,r_{F\circ D}:F\circ D\to R_N(F\circ D)$, pero sólo como un zig-zag.