Probar que es una variable aleatoria si es constante en cada partición

Question

Deje $\mathcal{G} = \{A_1, \ldots, A_n\}$ ser una partición de un conjunto $\Omega$, $\mathcal{F} = \sigma(\mathcal{G})$. Demostrar que $X : \Omega\to\mathbb{R}$ es una variable aleatoria si y sólo si es constante en cada uno de los partición de elementos $A_j$.

He intentado ambas direcciones pero tuvo algunas dificultades para continuar escribiendo la prueba. También he consultado a algunas fuentes que tienen una no tan clara prueba de ello.

He aquí la prueba:
Sabemos que $$\sigma(\mathcal{G}) = \left\{\sum_{i\in I}A_i : I \subset \{1,\ldots,n\}\right\}.$$
($\Leftarrow$)
Deje $B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. En este caso $X(\omega) = a_i$, $\forall\omega\in A_i$ para algunas constantes $a_i$, (entonces no estoy seguro de cómo proceder para mostrar que es una variable aleatoria), la prueba dice que $X = \sum_{i\in I}^n a_i \mathcal{{1_A}_i}$ y
$\{X \in B\} = \sum_{i : a_i\in \mathcal{B}}A_i\in \mathcal{F}$, lo $X$ es una variable aleatoria.

Mi pregunta es ¿por qué estamos concluyendo o la definición de $X = \sum_{i\in I}^n a_i \mathcal{{1_A}_i}$ (¿cuál es el propósito), en otras palabras que no entiendo es el flujo de razonamiento.

($\Rightarrow$)
Utilizamos la prueba por contradicción: Si $X$ no es constante en $A_i$,, a continuación, $\exists i_0$ tal que para algunos $\omega_1, \omega_2 \in A_{i_0}$ uno ha $a:= X(\omega_1) \not= X(\omega_2)$. Entonces yo no estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí.

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Permítanme utilizar $\bigcup$ en lugar de $\sum$ para denotar los sindicatos, es decir, $$ \sigma(\mathcal{G})=\left\{\bigcup_{i\in I} A_i\mid I\subseteq \{1,\ldots,n\}\right\}.\la etiqueta{1} $$ Ahora, una función de $X:\Omega\to \mathbb{R}$ es una variable aleatoria (es decir, es medible) si $$ X^{-1}(B)\in \sigma(\mathcal{G}),\quad B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}). $$

$\Longrightarrow:$ Ya argumentado que no existe constantes $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}$ tal que $X(\omega)=a_i$ para todos los $\omega\in A_i$. Pero esto es exactamente diciendo que $X$ es de la forma $$ X(\omega)=\sum_{i=1}^n a_i1_{A_i}(\omega),\quad \omega\en\Omega. $$ como la sugerencia se sugiere. Si esto no es obvio, sólo tenga en cuenta que para cualquier $\omega\in\Omega$, no es sólo un término de la suma en el lado derecho que es distinto de cero. Y recordar que desde la $\mathcal{G}$ es una partición de cualquier $\omega$ debe estar dentro de exactamente una de las $A_i$'s.

Si $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ es cualquier conjunto de Borel, entonces $$ \{X\in B\}=X^{-1}(B)=\{\omega\en\Omega\mid X(\omega)\in B\}=\bigcup_{i=1}^n\{\omega\en A_i\mid X(\omega)\in B\}. $$ Pero $$ \{\omega\en A_i\mid X(\omega)\in B\}= \begin{cases} A_i,\quad&\text{if }a_i\in B,\\ \varnothing,\quad &\text{if }a_i\notin B, \end{casos} $$ y por lo tanto $$ \{X\in B\}=\bigcup_{i: a_i\B} A_i\en\sigma(\mathcal{G}). $$

$\Longleftarrow:$ , Por lo que se ha asumido la existencia de una $i_0$ e $\omega_1,\omega_2\in A_{i_0}$ tal que $X(\omega_1)\neq X(\omega_2)$, y buscar una contradicción. Nos deja denotar $c:=X(\omega_1)$,, a continuación, $\{c\}$ es un conjunto cerrado y, por tanto,$\{c\}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Desde $X$ es asumido como una variable aleatoria debemos tener que $$ \{X=c\}=X^{-1}(\{c\})\in\sigma(\mathcal{G}). $$ Pero esto es una contradicción a $(1)$ porque $\{X=c\}$ es un subconjunto de $A_{i_0}$, es decir,$$\{X=c\}\subset A_{i_0}\quad\text{and}\quad \{X=c\}\neq A_{i_0}$$ showing that $\{ X=c\}$ no puede ser de la forma $\bigcup_{i\in I}A_i$ como se sugiere.