Matriz binaria aleatoria

Question

Esta es una pregunta de Strang del "Álgebra Lineal y sus Aplicaciones", a la derecha en el primer capítulo (estoy estudiando por mí mismo). No podía resolverlo, no está en el Manual de Soluciones, y mi investigación sugiere que no hay una solución simple para esto. Sin embargo, su presencia en el primer capítulo me sugiere que me estoy perdiendo algo. Aquí va:

1.6:

a) Hay dieciséis 2x2 matrices cuyas entradas son 1 y 0. Cuántos son invertible?

b) (Mucho más difícil!) Si pones 1 y 0 al azar en las entradas de una matriz de 10 por 10, es más probable que sea invertible o singular?

Por lo que puedo decir, este no puede ser resuelto por elemental de álgebra lineal, de modo que... no debería estar allí? Estoy suponiendo que hay un inteligente computacional manera de escape de todos los casos?

Answer 1

@FrancoVS @N74 Esto no es una prueba, sino una indicación de que el más grande de la matriz, más la posibilidad de que SEA invertible. La línea poligonal que a continuación se muestran los resultados de un (Matlab) simulación: para cada una de las $n = 1,2 \cdots 20$, se han generado $20,000$ $n \times n$ matrices (con entradas después de un Bernoulli Ber(1/2) de la distribución), y su determinante ha sido calculada. Este gráfico muestra el hecho de que, para $n>15$, la frecuencia de la no-cero determinantes rápidamente tiende a 1... (después de un pequeño descenso para valores pequeños de $n$).