Visualizando esta estructura CW para el$S^3$

Question

Me piden demostrar que la siguiente es una estructura de CW para la 3-esfera, (como parte de un ejercicio que implica la definición de la Cw estructura de la Lente Espacios) me piden demostrar que el siguiente es un CW descomposición

Pero a fin de visualizar que comencé el cálculo de una homeomorphism entre el interior de cualquier $2$-célula y un $2$-disco y adivinar donde el $2$-las células se adjunta. Sin muchos resultados. El mismo problema para el $3$-de las células.

He intentado buscar en algún otro alg. la parte de arriba. libros como Hatcher en fin a ver si hay algo explícito cálculos y he encontrado una más interpretación geométrica. Que debe ayudar a aclarar, pero no puedo trabajar con él correctamente:

Con Hatcher descripción es que no me queda claro donde la $2$-células están conectados y cómo, por otra parte parece que están conectadas a un $S^1$ que no es parte de la estructura de CW y por un punto interior a una de las $(0,p_j)$ donde $p_j$ es el j-ésimo raíces de la unidad. En otras palabras, parece que no es un $2$-de la célula debido a que la identificación no es a lo largo de la frontera y no adjuntar a la derecha del esqueleto.

Quiero trabajar con la descripción de la celda se indica al comienzo de la pregunta, porque entonces sería fácil para formalizar y demostrar que la rotación de la definición de un objetivo del espacio es un mapa de celulares. Así, alguien puede explicar (o dar una sugerencia) acerca de por qué los conjuntos de $e_r^i$'s son las células y cómo están conectados a la $i-1$-esqueleto (por ejemplo, ayudar en los cálculos se explicó anteriormente)?

Answer 1

Permítanme usar $X^{(i)}$ para denotar la $i$-esqueleto, la unión de todas las celdas abiertas $e^d_r$ con $d \le i$. De la redacción de la pregunta parece que ya entienden el 1-esqueleto $X^{(1)}$, así que voy a hacer esa suposición.

El resumen rápido es que el open se da a las células de forma implícita, y a partir de esto uno necesita para escribir esas células en forma paramétrica.

Por lo que necesita una parametrización de $e^2_r$. Para conseguir esto, primero observe que para cada $(z_0,z_1) \in e^2_r$ tenemos $|z_0| < 1$, debido a $z_1 \ne 0$. El próximo aviso de que $z_0$ únicamente determina $z_1$ por los requisitos que $|z_1|^2 = 1 - |z_0|^2$ e $\text{arg}(z_1) = 2 \pi r / p$. De ello se desprende que $e^2_r$ es parametrizada por el conjunto de todos los $z_0$ tal que $|z_0|<1$, que es un buen arranque, ya que el conjunto es una 2-celda, a saber, el interior de la $D^o$ de la unidad de disco $D \subset \mathbb{C}$. Por lo tanto, permítanme indicar la celda abierta de parametrización mapa $f^o_r : D^o \to e^2_r$, el cual es dado por la fórmula $$f^o_r(z_0) = \bigl(z_0, \sqrt{1 - |z_0|^2} \text{exp}(2 \pi i r / p) \bigr) $$

El siguiente paso es mostrar que $f^o_r : D^o \to e^2_r$ se extiende a un mapa continuo $f_r : D \to X$ de los que tomaron $\partial D$ para el 1-esqueleto; una vez hecho esto se sigue que $f_r$ es un mapa de características para el cerrado de 2 células con interior de $e^2_r$. Pero la fórmula para $f_r$ es que nos mira a la cara: es la misma que la fórmula para $f^o_r$ sino que se extendió a todo el disco $D$. Y luego, cuando se conecta en un punto de $z_0 \in \partial D = S^1$, consigue $f^o_r(z_0)=(z_0,0)$, que está claramente contenida en $X^{(1)}$.

Se puede tomar desde aquí con el 3-las células?