Factorizar en primos usando la función de norma

Question

Deje que$l(z)=z \bar z$ sea una función normal.

¿Cómo se puede realizar una factorización prima en los anillos$\mathbb{Z}[i]$,$\mathbb{Z}[\frac{-1 \sqrt{-3}}2]$ o cualquier otro anillo usando la función de norma?

Por ejemplo, ¿cómo se puede encontrar la factorización prima de$8+i \in \mathbb{Z}[i]$ o$13 \in \mathbb{Z}[\frac{-1 \sqrt{-3}}2]$?

Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Si $R$ es un anillo, $a,b\in R$ tal que $a\mid b$, luego tenemos a $b=ak$ para algunos $k\in R$, y si $\mathsf{N}:R\to\mathbb{Z}_{\geq 0}$ es una norma de la función, entonces tenemos $$\mathsf{N}(b)=\mathsf{N}(ak)=\mathsf{N}(a)\mathsf{N}(k)\;\;\implies \;\;\mathsf{N}(a)\mid \mathsf{N}(b).$$ Como un ejemplo, si tomamos $R=\mathbb{Z}[i]$ e $\mathsf{N}(a+bi)=a^2+b^2$, luego $$\mathsf{N}(8+i)=8^2+1^2=65=5\cdot 13.$$ Así que si $$8+i=u\;\pi_1^{d_1}\cdots\pi_n^{d_n}$$ es la factorización en irreducibles de $8+i$ en el ring $\mathbb{Z}[i]$ ($u$ ser una unidad), tenemos que $$\mathsf{N}(8+i)=65=\mathsf{N}(\pi_1)^{d_1}\cdots\mathsf{N}(\pi_n)^{d_n}.$$ Ahora, yo se lo dejo a usted para comprobar que no tenemos una $\mathsf{N}(\pi)=65$ para cualquier irreductible $\pi\in\mathbb{Z}[i]$ (¿conoce usted la clasificación de los irreducibles en $\mathbb{Z}[i]$?) Pero a partir de esto, podemos ver que $$8+i=u\;\pi_1\pi_2$$ donde $\mathsf{N}(\pi_1)=5$ e $\mathsf{N}(\pi_2)=13$, e $u\in\{\pm1,\pm i\}$. Ahora se acaba de resolver por las partes real e imaginaria de $\pi_1$ e $\pi_2$... excepto por el hecho de que hay dos posibles $\pi_1$'s y dos posibles $\pi_2$'s (hasta multiplicación por una unidad), cada uno de los posibles de ser el conjugado de la otra: $$\pi_1\in\{2\pm i\},\quad \pi_2\in\{3\pm 2i\}.$$ Aquí yo creo que hay que adivinar y comprobar (al menos, yo no recuerdo ninguna manera de deducir que conjugar necesitamos).