Demostrando que: $ | a + b | + |a-b| \ge|a| + |b|$

Question

Estoy tratando de demostrar esto por casi una hora ahora:

$$ \ tag {$\forall a,b \in \mathbb{R}$} | a + b | + | ab | \ ge | a | + | b | $$

Estoy perdido, ¿podrían ustedes darme una sugerencia de dónde comenzar, o tal vez mostrar un buen recurso para principiantes en pruebas? Gracias por adelantado.

Answer 1

Usando la desigualdad de triángulos,$$|a+b| + |a-b| \geqslant |(a+b) + (a - b)| = 2|a|$ $ también como$|a-b| = |b-a|$,$$|a+b| + |a-b| \geqslant |(a+b) + (b - a)| = 2|b|$ $ ¡Ahora agregue y concluya!

Answer 2

Mi sugerencia sería la siguiente.

1. Primero observar que es simétrica en $a$ e $b$. Por otra parte, es cierto al $a = b$.
2. Tenga en cuenta también que si reemplazamos $b$ con $-b$, entonces la afirmación es invariable. Así que podemos suponer $b \ge 0$. Lo mismo vale para los $a$.
3. También nos muestra que, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que las $a > b$. Si $a > b$, entonces esto nos dice algo útil: $|a - b| = a - b$.

Tan sólo necesitamos considerar $a > b \ge 0$. Os dejo el resto del argumento (aunque no queda mucho). Esperemos que esto ayuda a mostrar cómo se puede abordar estas preguntas, no solo le dará un casi-solución a una cuestión en particular :)

Answer 3

Para probar $$ | a + b | + |a-b| \ge|a| + |b| $$

Plaza de los dos de los lados. Esto no cambia la desigualdad. Tenemos

$$ | a + b |^2 + |a-b|^2 + 2|a+b||a-b| \ge|a|^2 + b^2 + 2|a||b| $$

$$ (||a^2 + b^2 +2|a||b|cos\theta) + (||a^2 + b^2 -2|a||b|cos\theta) + 2|a+b||a-b| \ge|a|^2 + b^2 + 2|a||b| $$ where $\theta$ es el ángulo entre a y b

$$ 2|a|^2 + 2|b^2 + 2|a+b||a-b| \ge|a|^2 + b^2 + 2|a||b| $$

$$ ||a^2 + b^2 + 2|a+b||a-b| \ge 2|a||b| $$

$$ ||a^2 + b^2 + 2|a+b||a-b| - 2|a||b| \ge 0 $$

$$ (|a|-|b|)^2 + 2|a+b||a-b|\ge 0 $$

Así que en el lado izquierdo tenemos los dos términos que son siempre mayores que 0, por lo tanto, esta desigualdad es siempre

Existe la igualdad cuando a=b

QED

Answer 4

Comience con$|a|+|b|$ y vuelva a escribir$a$ y$b$ como$\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}$ y$\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}$ respectivamente. Usa la desigualdad del triángulo.

Answer 5

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que$|a|\geq |b|$. Como todos los términos son no negativos, al cuadrar ambos lados, obtenemos la desigualdad equivalente$$(a + b)^2 + (a-b)^2 +2(a^2-b^2)\ge a^2+b^2+2|a||b|$ $ que es$$3a^2-b^2\ge 2|a||b|\Leftrightarrow (3|a|+|b|)(|a|-|b|)\geq 0$ $ que se mantiene. Por lo tanto la desigualdad dada es siempre cierta.