Pregunta 1: ¿por Qué en 2D curl restando las derivadas parciales de cada uno de los otros dar la cantidad de rotación?
$\newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}}$
Respuesta(Corto): 2D curl es solo 3D curl incrustado en 2D.
Respuesta(Largo): la razón por La 3D curl medidas de la rotación es el porque de su definición. Si queremos medir cómo "rotación" o "solenoidal" un campo de vectores es, con respecto a un infinitesimal de la superficie, simplemente se podría calcular la integral de línea alrededor de la frontera de la superficie. Como la de la foto en la entrada de la Wikipedia de curl. Y sucede que por el teorema de Stokes, podemos definir un rizo operador $\nabla \times \cdot$ de esta superficie (yo uso integral en lugar de la doble y triple signo integral para todas las integrales):
$$
\int_{\Sigma} \nabla \times \v{u}\cdot d\v{S} = \int_{\Sigma} \nabla \times \v{u}\cdot \v{\nu}\,dS = \oint_{\parcial \Sigma} \v{u}\cdot d\v{r} = \oint_{\parcial \Sigma} \v{u}\cdot \v{\tau}\,dr
$$
donde $\v{\nu}$ es la unidad vector normal a la superficie, y $\v{\tau}$ es el vector tangencial a lo largo de la frontera de $\Sigma$.
A continuación, mediante la integración por partes de la fórmula muestra que en realidad podríamos definir el rizo operador suave de los campos vectoriales en un suave dominio de $\Omega$ en 3D:
$$
\int_{\Omega} \nabla \times \v{u} \cdot \v{v} = \int_{\Omega} \nabla \times \v{v} \cdot \v{u} - \int_{\partial \Omega} \v{u}\times \v{\nu}\cdot \v{v} \,dS
$$
La fórmula de la curvatura es obtener por su definición junto con el teorema fundamental del cálculo en dimensión arbitraria de dominio con un sistema de coordenadas Cartesianas:
$$
\int_{\Omega} \partial_{x_i} u\, dx = \int_{\partial \Omega} u \,\nu_i dS \,,
$$
Entonces nos encontramos con que la curvatura de la fórmula en 3D para $\v{v} = \langle v_1,v_2,v_3\rangle$ pasa a ser:
$$
\nabla \times \v{u} = \begin{vmatrix} \v{i} & \v{j} & \v{k} \\ \\
{\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\
\\ v_1 & v_2 & v_3\end{vmatrix}
\etiqueta{1}$$
Ahora, volviendo a la pregunta, 2D curl para un campo vectorial en 2D puede ser visto como "un 3D curl para un campo de vectores en 3D, pero sin un tercer componente". Sólo podía pensar en el campo de vectores vive en la $xy$-plano en 3D, y de ser incrustadas en $\mathbb{R}^3$: vamos a $\v{v} = \langle v_1(x,y),v_2(x,y) \rangle$, incrustarlo en 3D, dejando $\widehat{\v{v}} = \langle v_1,v_2,0\rangle$, después de aplicar el producto cruzado de la fórmula (1), lo que nos sería
$$\nabla \times \widehat{\v{v}} = \left\langle 0,0,\left|\begin{matrix}\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}\newline v_1&v_2 \end{de la matriz}\right|\right\rangle
$$
y este producto escalar de vectores con la unidad vector normal a la $xy$-avión $\langle 0,0,1\rangle$, lo que sería el rizo para un vector 2D campo:
$$\nabla \times \v{v} = \nabla \times \widehat{\v{v}} \cdot \v{\nu}_{xy-\text{plane}} = \frac{\partial v_2}{\partial x} - \frac{\partial v_1}{\partial y}$$
Hay otro tipo de curvatura en 2D, es decir, el vector-$\mathbf{curl}$, o la rotación de operador $\mathbf{rot}$. Aquí podemos incrustar una función escalar a la tercera dimensión de $\mathbb{R}^3$: $u = \langle0,0,u\rangle$, y lo que tenemos es el de rotación de la $\nabla$-operador a veces denotado por $\nabla^{\perp}$:
$$
\mathbf{rot} u = \nabla^{\asesino} u = \left\langle\frac{\partial u}{\partial y},-\frac{\partial u}{\partial x},0 \right\rangle
$$
Este operador da surgimiento de una rotación del vector de campo girando el gradiente de un campo escalar función counterclockwisely por $\pi/2$.
Espero que esto aclare la confusión de la Pregunta 3 también.
Pregunta 2: ¿por Qué la suma de las derivadas parciales en a $i , j , k$ direcciones en gradiente da el más rápido incremento de una función, y desde donde hizo este vino?
Respuesta: no sé de qué estás hablando. "la suma de las derivadas parciales en a $i , j , k$ direcciones" es la divergencia operador $\nabla \cdot$. Este operador puede tener varios interpretación, la primera es que:
La divergencia de las medidas de la salida de flujo de un campo vectorial a través de un dominio del límite.
Este punto de vista, básicamente, tiene la ventaja de que el teorema de la divergencia:
$$
\int_{\Omega} \nabla \cdot \v{u} = \int_{\partial \Omega} \v{u}\cdot d\v{S} = \int_{\partial \Omega} \v{u}\cdot \v{\nu}\,dS
$$
En el límite, un campo de vectores $\v{v}$ producto escalar con el exterior de la unidad vector normal $\v{\nu}$ sobre el límite mide la cantidad de este campo vectorial fluye a través de la a través de la frontera, acabo de sacar dos siguientes imágenes usando MATLAB:
![gradient field]()
![curl field]()
El primero es el gradiente de campo de $u = e^{x^2+y^2}$, y es paralela a la exterior de la unidad normal de la unidad de círculo en cada punto, es "fluye". La segunda imagen es el primer vector del campo de rotación, $\mathbf{rot} u$, y su divergencia es cero. Por qué? En el límite del círculo, nada es "fluye" debido a que este campo vectorial es perpendicular a la parte exterior de la unidad normal en cada punto de la frontera. Para esta interpretación, básicamente asociados a $\nabla \cdot \v{v}$ $\v{v}\cdot \v{\nu}$ sobre el límite.
Hablando de la "más rápido incremento de una función", debe decir gradiente propio operador. La idea de derivada direccional demuestra ser muy útil en la explicación de esto:
El derivativo derivada de una función $\nabla u\cdot \v{t}|_{P}$ mide la tasa de cambio de esta función a lo largo de $\v{t}$'s de dirección en el punto de $P$.
A continuación, se hace evidente que entre los tipos de cambio de esta función a lo largo de cada dirección, la tasa de cambio a lo largo de la dirección en la que es paralela a $\nabla u$ es el máximo de la tasa de cambio. Por lo tanto, $\nabla u$'s dirección es la "forma más rápida de cambiar de dirección para $u$.
Por último, pero no menos importante, cálculo vectorial en sí no es inconsistente y vaga en todo, tal vez es la presentación de el libro de texto está usando. Para preuniversitarios cálculo vectorial, las fórmulas se dan sin mostrar una perspectiva más amplia del cálculo vectorial. Si usted sucede a proseguir estudios de postgrado en matemáticas, y aprender geometría diferencial y de Rham cohomology, usted encontrará que todo lo que aprenden en cálculo vectorial es tan consistente y natural.
EDITAR:
Acerca de la divergencia, la curvatura, el gradiente en 2D: en mi humilde opinión, la mejor manera de entender cálculo vectorial es de geometría diferencial y cálculo exterior. Así que aquí hago mi mejor brevemente respuesta de por qué no hay dos "curl"s en 2D que parece incoherente, préstamos de algunos tecnicismos de de Rham. En cualquier dimensión, estos diferencial de operador pueden considerarse como exterior diferencial en formas diferenciales.
En 3D, la siguiente cadena compleja es exacta:
$$
\Lambda^0 \xrightarrow{\nabla} \Lambda^1 \xrightarrow{\nabla\times} \Lambda^2
\xrightarrow{\nabla\cdot} \Lambda^3
$$
$\Lambda^0$ contiene 0-forma, las funciones escalares, definido pointwise (potencial eléctrico).
$\Lambda^1$ contiene 1-forma, el vector de valores de las funciones, que se define utilizando la integral de línea. (campo eléctrico)
$\Lambda^2$ contiene 2-forma, el vector de valores de las funciones, se define el uso de la superficie de la integral. (flujo eléctrico)
$\Lambda^3$ contiene 3-forma, las funciones escalares, que se define utilizando el volumen integral. (la densidad de carga)
Todo es bueno en 3D debido a la magia de identidad $3-1 = 1+1$, el adjunto de curl curl es en sí (salvo formalmente usted tiene que agregar una estrella de Hodge para hacerlo de la forma de volumen, por lo tanto para hacer un producto interior). En 3D, todos los $k$-formulario puede estar asociado con un objeto geométrico: punto->línea>superficie->volumen.
Sin embargo, en 2D, la magia de la identidad ya no es válida, tenemos muy pocas geometría para jugar con: punto->->zona. Punto y área están asociadas con las funciones escalares. No solo deja una ranura para el vector de campo. Hay dos complejos de la cadena en 2D:
$$
\Lambda^0 \xrightarrow{\nabla} \Lambda^1 \xrightarrow{\nabla\times} \Lambda^2
$$
$$
\Lambda^0 \xrightarrow{\nabla^{\asesino}} \Lambda^1 \xrightarrow{\nabla\cdot} \Lambda^2
$$
El segundo es el primero de la rotación. $\nabla\times$ $\nabla \cdot$'s de la rotación $\nabla^{\perp}$ $\nabla$'s de rotación.
Sobre el rápido cambio de dirección de una función: $\nabla \phi$ siendo el más rápido el cambio de dirección puede ser interpretado como, si ponemos una partícula cargada en este campo de vectores $\nabla \phi$, que es el campo eléctrico de una carga estática. Entonces la partícula se mueve a lo largo de las líneas de campo de $\nabla \phi$, en lugar de a través de las líneas de campo.
Como de $\mathbf{rot}=\nabla^{\perp}$: La introducción de este operador en su mayoría proviene del estudio del flujo de fluidos incompresibles. No está asociada con la forma más rápida de cambiar de dirección a todos. Si tenemos que poner una analogía con $\nabla$, entonces es que si ponemos una partícula en el flujo de agua, cuyo campo de flujo es $\nabla^{\perp}\phi$ (el agua es incompresible, la divergencia del campo de flujo tiene que ser cero). La partícula de flujo a lo largo de las líneas de flujo de $\nabla^{\perp}\phi$.
