Nth Derivada de una función

Question

Encuentre el$N^{th}$ derivado de$$f(x) = \sqrt{\frac {1-x}{1+x}}$ $

Tengo$1^{st}$ derivado como:$\frac{-1}{(1-x)^{1/2}(1+x)^{3/2}}$

y$2^{nd}$ derivado como:$\frac{1-2x}{(1-x)^{3/2}(1+x)^{5/2}}$

y$3^{rd}$ derivado como:$\frac{-6x^2+6x-3}{(1-x)^{5/2}(1+x)^{7/2}}$

Puedo ver cómo se forma el denominador pero, ¿me pueden ayudar con el numerador?

Gracias. :)

Answer 1

Vamos a ser $\varphi(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=f(g(x))$ donde $f(x)=\sqrt x$ e $g(x)=\frac{x-1}{x+1}=\frac{2}{x+1}-1$.

Es fácil ver que $$ f^{(n)}(x)=\frac{\sqrt\pi x^{\frac{1}{2}-n}}{2\Gamma\left(\frac{3}{2}-n\right)} $$ amd $$ g^{(n)}(x)=(-1)^n2 \n!\,(x+1)^{-1-n} . $$

Por lo tanto, podemos utilizar el Faà di Bruno fórmula en la forma clásica $$ \varphi^{(n)}(x)=\frac{d^n}{dx^n} f(g(x)) =\sum \frac{n!}{m_1!\,m_2!\,\cdots\,m_n!}\cdot f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x))\cdot \prod_{j=1}^n\left(\frac{g^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j} $$ donde la suma es sobre todos los $n$-tuplas de números enteros no negativos $(m_1,\ldots,m_n)$ la satisfacción de la restricción $1\cdot m_1+2\cdot m_2+3\cdot m_3+\cdots+n\cdot m_n=n$ o el Faà di Bruno de la fórmula expresada en términos de la Campana de polinomios$B_{n,k}(x_1,\ldots,x_{n−k+1})$ $$\varphi^{(n)}(x)=\frac{d^n}{dx^n} f(g(x))= \sum_{k=1}^n f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots,g^{(n-k+1)}(x)\right).$$