Una caracterización para la propiedad de elevación idempotente.

Question

Deje que$I$ sea un ideal en un anillo conmutativo$R$ con$1$ y deje que$g+I$ sea un elemento idempotente de$R/I$. Decimos que este idempotente se puede levantar módulo$I$ en caso de que haya un idempotente$e^2=e\in R$ tal que$g + I = e + I$ ($g-e\in I$).

Pregunta: ¿Hay alguna caracterización para$I$ bajo la cual los idempotents levantan el módulo$I$, es decir, cada idempotente de$R/I$ levanta el módulo$I$? ¿Y hay alguna referencia completa para esta propiedad?

Answer 1

Sí! Si $I\subseteq \sqrt{0}$ donde $\sqrt{0}$ es el nilradical, entonces cada idempotente en $R/I$ ascensores modulo $I$.

En lugar de simplemente afirmar esto, pensé que te gustaría ver una prueba. Así, la siguiente prueba es tomada directamente de la sección 27 de Anderson y Fuller, del libro de los Anillos y las Categorías de Módulos, Segunda Edición.

Supongamos $I\subseteq \sqrt{0}$, e $g\in R$ satisface $g+I = g^2+I$. A continuación, dejando $n$ ser el nilpotency índice de $g-g^2$, podemos utilizar la fórmula binominal: $$ 0 = (g-g^2)^n = \sum_{k=0}^n{n \elegir k} g^{n-k} (-g^2)^k = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\elegir k} g^{n+k} = g^n-g^{n+1}\left(\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}{n\elegir k} g^{k-1} \right) $$ A continuación, $t:=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}{n\choose k} g^{k-1}\in R$ es tal que $$g^n = g^{n+1}t \hspace{10pt} \text{and} \hspace{10pt} gt =tg.$$ Ahora $$ e := g^nt^n = (g^{n+1}t)t^n = g^{n+1}t^{n+1} = g^{n+2}t^{n+2} = \cdots =g^{2n}t^{2n} = e^2,$$ por lo $e= g^nt^n$ es idempotente, y también $$ g+I = g^n+I = g^{n+1}t+I = (g^{n+1} +I)(t+I) = (g+I)(t+I) = gt+I$$ de modo que $g+I=(g+I)^n = (gt+I)^n = e+I$.