¿Converse al teorema de base de Hilbert?

Question

Específicamente, ¿es posible que un anillo no noetheriano$R$ tenga$R[x]$ noetheriano? Cada referencia que he visto para el teorema de la base de Hilbert solo indica la dirección "$R$ Noetherian$\Rightarrow$$R[x]$% Noetherian", lo que ciertamente parece implicar que lo contrario es falso. Desafortunadamente, es difícil pensar en los anillos no-noetherianos, y lo que estoy seguro es que el ejemplo favorito de la mayoría de las personas,$K[x_1,x_2,\ldots]$ para un campo$K$, obviamente no nos ayudará aquí.

Answer 1

Queridos Zev,

Hay algunas fuentes que dan a la inversa. Ver, por ejemplo, páginas 64-65 de

http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf

Para esta cuestión, ver también pp 32-33 de la loc. cit. por el Teorema del Resto Chino y su recíproco. (Y no soy el único que hace esto...)

Tenga en cuenta que en ambos casos lo contrario se deja como ejercicio. Creo que (evidentemente) que este es el camino a seguir: puede que no sea tan fácil para el oficial matemático para llegar a la declaración de la conversación, pero después de haber visto la declaración es un ejercicio muy valioso para llegar a la prueba. (En particular, creo que en un texto matemático o curso en el avanzado nivel de pregrado y más allá, la mayoría de los ejercicios debe ser, de hecho, las cosas que uno podría encontrar útil más adelante, y no sólo las cosas que son difíciles de demostrar, pero merecidamente olvidable.)

Finalmente, por casualidad, justo ayer en mi curso de postgrado en los campos de la región llegué a la prueba de la "producto tensor teorema" en la clasificación de las normas en un finito-dimensional de extensión de campo (que entró en un anterior MO respuesta). La idea clave de la prueba -- que me pareció un poco difícil de escribir; yo, ciertamente, a admitir la posibilidad de mejoras en la exposición-parece ser sospechosamente cerca de la valoración de la teoría de la analogía de la inversa del Teorema del Resto Chino! Ver páginas 18-19 de

http://math.uga.edu/~pete/8410Chapter2.pdf

si usted está interesado.

Answer 2

Si$A$ es un ideal de$R$, entonces$A[X]$ es un ideal de$R[X]$, ¿verdad? Entonces, una cadena ascendente de ideales en$R$ que no se estabiliza te da una cadena ascendente de ideales en$R[X]$ que tampoco se estabiliza?