Todos los probabilistas saben que no puede haber tal $f$ ni siquiera en $L^1$ o para las medidas $\mu(dx)$ de forma más general que $f(x)dx$ . Esto se puede ver de muchas maneras diferentes. El argumento habitual comienza mostrando que si $\hat f(x)=1$ en una zona de $0$ entonces $\int_{\mathbb R} (1-\cos(tx))f(x)dx = 0$ para todos $t\in[-1,1]$ . Como el integrando es no negativo, $f$ debe desaparecer para todos $x$ para lo cual $tx$ no es un múltiplo entero de $\pi/2$ para todos $|t|\le 1$ y así para todos $x\ne 0$ .
Pero me olvidé de este hecho, y se me ocurrió esto, en su lugar:
La función $\hat f$ debe satisfacer la condición de Bochner, que para cada conjunto finito $\{t_i\}$ de reales, las matrices $A=(a_{ij})$ donde $a_{ij} = \hat f(t_i-t_j)$ son semidefinidos positivos. Esto, y la suposición de que $\hat f=1$ en $[-1,1]$ es suficiente para demostrar que $\hat f(t)=1$ para todos $t$ de la siguiente manera.
Si $t_2-t_1\in [-1,1]$ y $t_3-t_2\in[-1,1]$ pero $t_3-t_1\notin[-1,1]$ se puede aprender lo que $a = \hat f(t_3-t_1)$ es al observar que $A=\pmatrix{1&1&a\\1&1&1\\\bar a&1&1}$ es psd, y por lo tanto $q=(1,-2,1)A(1,-2,1)^T\ge0$ . Pero $q=2(\Re a-1)$ así que $\Re a\ge1$ y así $|a|\ge1$ . Pero también la submatriz $\pmatrix{1&a\\\bar a&1}$ es psd, por lo que su determinante $1-|a|^2$ no puede ser negativo, por lo que $|a|\le1$ . Por lo tanto, así $A$ psd implica $a=1$ . Así que ahora sabemos $\hat f(t)=1$ para todos $t\in[-2,2]$ . El mismo argumento, aplicado inductivamente, muestra $\hat f = 1$ en cada conjunto $[-2^k,2^k]$ y, por lo tanto, en $\mathbb R$ .
El teorema de Bochner es un hecho básico en el análisis armónico. La transformada de Fourier de una medida, o función, no negativa, es "positivamente definida", en el sentido de que las matrices formadas a partir de la FT como la anterior, deben ser positivamente semidefinidas. La Wikipedia artículo es tal vez demasiado intelectual para los principiantes, el Wolfram MathWorld un es demasiado escueto, pero hay exposiciones por ahí que deberían estar a la altura de tu nivel.
La idea básica es que $\hat f(t-s) = \int_{\mathbb R} \exp(-2\pi i (t-s)x) f(x)dx$ (más o menos algunas constantes normativas), por lo que una suma como $$\sum_k\sum_l \bar x_k x_l \hat f ( t_k-t_l) = \int_{\mathbb R}\left| \sum_k x_k e^{-2\pi t_k x}\right|^2 f(x)dx\ge 0.$$ Esta es la parte fácil del teorema. La parte difícil, que la colección de todas esas desigualdades se mantiene, y el requisito de que $\hat f$ sea continua, es suficiente para implicar que $f\ge0$ en todas partes, no es necesario en su caso.
