Estaría muy agradecido si alguien me ayudara con estos dos límites de secuencia. $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} \left(2+ \frac{3^2}{2}+\cdots+\frac{(n+1)^n}{n^{n-1}}\right)$ $ He intentado delimitar el segundo término, pero no sé cómo resolverlo. Creo que es cero, pero no estoy seguro de separar los límites .. $$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{(n-1)!}}{(1+\sqrt{1}) (1+\sqrt{2})\ldots(1+\sqrt{n})} $ $ He intentado usar la fórmula de Stirling con este límite, pero no estoy seguro de cómo resolver lo que obtengo ... ¡Gracias!
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Por el teorema de Stolz-Cesro , uno tiene \begin{eqnarray} &&\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} \left(2+ \frac{3^2}{2}+\cdots+\frac{(n+1)^n}{n^{n-1}}\right)\\ &=&\lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n\frac{(k+1)^k}{k^{k-1}}}{n^2}\\ &=&\lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^{n+1}\frac{(k+1)^k}{k^{k-1}}-\sum_{k=1}^n\frac{(k+1)^k}{k^{k-1}}}{(n+1)^{2}-n^2}\\ &=&\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n}}}{2n+1}\\ &=&\lim_{n\to\infty} \frac{n+2}{2n+1}\frac{(n+2)^{n}}{(n+1)^{n}}\\ &=&\lim_{n\to\infty} \frac{n+2}{2n+1}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n\\ &=&\frac e2. \end {eqnarray}
Shabaz
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Para el primer $$\frac {(n+1)^n}{n^{n-1}}=(n+1)\left(1+\frac 1n\right)^{n-1}=\frac{n+1}{1+\frac 1n}\left(1+\frac 1n\right)^{n}\to (n+1)e$ $
Para el segundo, si borra todos los $+1$ s disminuye el denominador y aumenta la fracción. Pero hace que la fracción $$\frac{\sqrt{(n-1)!}}{\sqrt{n!}}=\frac 1{\sqrt n} \to 0$ $
