Descubra si$\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n\log(n)}$ es convergente o no, utilizando Cauchy

Question

Me preguntó si $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\log(n)}$ fue convergente o no. Ya he resuelto este problema mediante la integral de la propiedad, pero yo quería usar de Cauchy en su lugar.

He definido $m,n \in \mathbb N$ con $m \lt n \land \exists \epsilon \gt 0$ en una manera que $$\left| \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \log (n)} - \sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m \log (m)} \right| \gt \epsilon$$

Ahora estoy atascado en esta parte donde me tendría que gastar las sumas y simplifique. Yo no puedo encontrar una manera de ir más lejos de aquí. No tengo la impresión de que en realidad demostrar nada. Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Considerando Cauchy en rodajas es un enfoque que puede ser usado para demostrar la siguiente y la declaración más general: si $(a_n)$ es estrictamente una secuencia positiva tal que $\sum a_n$ diverge, denotando $S_n = \sum \limits_{k=1}^n a_k$, $\sum \frac{a_n}{S_n}$ también diverge.

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Prueba: deje que nosotros unidos por debajo de una rebanada de Cauchy entre $m$ e $n > m$: $$\sum \limits_{k=m+1}^n \frac{a_k}{S_k} \ge \frac{1}{S_n} \sum \limits_{k=m+1}^n a_k = 1 - \frac{S_m}{S_n}.$$

Desde $S_n$ va al infinito, nuestro límite inferior va a $1$ cuando $n$ va al infinito, por lo que el Cauchy rodajas de' sumas no vaya a cero cuando se $m \to \infty$.

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En su problema, $a_n = \frac{1}{n}$, lo que denota $H_n = \sum \limits_{k=1}^n \frac{1}{k}$, el anterior comentario acerca de Cauchy rodajas asegura que $\sum \frac{1}{n H_n}$ diverge.

Ahora todo lo que necesita hacer es explicar por qué $H_n \sim \log(n)$, o al menos por qué $\log(n) \le \mbox{Cste} \cdot H_n$, que se puede hacer de varias maneras diferentes (incluyendo, sin integrales - ver la prueba de comparación en la wiki).