Convexo secuencias y representación Integral para la generación de la función

Question

Supongamos que $c_k$, una disminución de la secuencia de la no-negativos de los números reales, tal que $c_0=1$ y $c_{k}\leq \frac{1}{2}(c_{k-1}+c_{k+1})$.

Es cierto que la función generada de $c_k$ admite una representación integral de la siguiente $$ \sum_{k=0}^{\infty}c_kz^k=\int_{\parcial\mathbb D} \frac{1}{1-\zeta z}d\mu(\zeta), $$ donde $\mu$ es un Borel Medida de Probabilidad en $\partial\mathbb D$ ?

Motivación: Esta pregunta está relacionada con un posible ligero solución diferente para la pregunta se le preguntó en http://math.stackexchange.com/questions/2188/complex-analysis-question cuya respuesta, como señaló damián, se puede encontrar en el IMC sitio web.

Answer 1

Creo que esto no es posible. Necesitamos una fuerte condición en la $c_k$.

Asumir tal medida existe, $L:C(S^1) \to \mathbb{C}$ dada por $$L(f) = \int_{S^1} f \, d\mu$$ es un funcional lineal así que podemos extender a $L^2(S^1)$. A ver es continua nota que

$$|L(f)| \leq \|f\|_1 \leq \|f\|_2$$

También escribir esta extensión como $L$.

Por la representación de Riesz teorema sabemos que $L(f) = \langle f, x \rangle$ algunos $x \in L^2(S^1)$.

Por lo $L(\sum \zeta^n z^n) = \sum b_n z^n$ donde $b_n = \langle \zeta^n, x \rangle$ y sabemos que esto es igual a $\sum c_n z^n$. De modo que $c_n = \langle \zeta^n, x \rangle$. Pero también sabemos que $\sum |c_n|^2 < \infty$. Este es un fuerte condición de convexidad como George se señala más abajo.

Espero que sea correcta esta vez.

El problema se parece mucho a la Hausdorff momento problema y el estándar de trabajo en el momento de los problemas es, probablemente, el libro de Akhiezer: El clásico momento en el problema y algunas preguntas relacionadas con el análisis. Hafner Publishing Co., Nueva York, 1965.