Unicidad de$\mathbb{R}$

Question

En el comienzo del bebé Rudin se nos da

$\textbf{1.19 Theorem}$ Existe un orden de campo $\textit{R}$ con la menor cota superior de axioma. Por otra parte, $\textit{R}$ contiene $\textit{Q}$ como un subcampo.

Son los números reales de la $\textit{unique}$ ordenado de campo con l.u.b. propiedad con los racionales siendo un subcampo? Por supuesto, sabemos que $\mathbb{R}$ existe a través de muchas construcciones, pero ¿hay alguna uncountably infinito campos con las mismas propiedades que no $\mathbb{R}$ hasta el isomorfismo?

Mi intuición me dice que es cierto, ya que el hecho de que $\mathbb{Q}$ (o un isomorfo copia) es un subcampo de cada uno debe decir que ambos campos deben capturar las mismas propiedades. Pero realmente no estoy seguro. Disculpas si esta pregunta es tonta.

Answer 1

Sí. La propiedad relevante no es, sin embargo, que $\mathbb{Q}$ es un subcampo, sino el hecho de la propiedad suprema (o cualquiera de cualquier otro número de declaraciones equivalentes a la integridad de Dedekind). $\mathbb{R}$ es el único campo ordenado (hasta isomorfismo) con esta propiedad.

Answer 2

Sí, los números reales son únicos en el sentido que describiste. Vea el epílogo del cálculo de Spivak (capítulo 29 o 30, según la edición).