Transformada inversa de Laplace de $\frac{1}{\lambda\cosh(\sqrt{as}+\sqrt{bs})+(1-\lambda)\cosh(\sqrt{as}-\sqrt{bs})}$ .

Question

Estoy tratando de encontrar la transformada inversa de Laplace de alguna función de la forma

$$\mathrm{F}\left(s\right) = \frac{1}{\lambda\cosh\left(\,\sqrt{\, as\,}\, + \,\sqrt{\, bs\, }\right) + \left(1 - \lambda\right)\cosh\left(\,\sqrt{\, as\,}\, -\,\sqrt{\, bs\,}\right)},$$

donde $\lambda \in \left[0,1\right]$ . He intentado utilizar el teorema del residuo, sin embargo, encontrar los polos ( raíces del denominador ) parece bastante complicado, lo que no he averiguado, todavía.

También he intentado calcular la integral: $$\int_{\sigma - \mathrm{i}\infty}^{\sigma + \mathrm{i}\infty} \mathrm{F}\left(s\right)\mathrm{e}^{st}\,\mathrm{d}s,$$ utilizando alguna sustitución de la forma $u = \mathrm{e}^{\,\sqrt{\, s\,}\,}$ Sin embargo, se obtiene otra forma complicada a partir de la cual puedo continuar.

Se agradece cualquier idea, pista o solución parcial.

Answer 1

En cuanto a los ceros de

$$\lambda\cosh(\sqrt{as}+\sqrt{bs})+(1-\lambda)\cosh(\sqrt{as}-\sqrt{bs}) = 0$$

haciendo $s = x + i y$ y tomando las partes real e imaginaria

$$R=\lambda \cos \left(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right) \sqrt[4]{x^2+y^2} \sin \left(\frac{1}{2} \arg (x+i y)\right)\right) \cosh \left(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right) \sqrt[4]{x^2+y^2} \cos \left(\frac{1}{2} \arg (x+i y)\right)\right)-(\lambda -1) \cos \left(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right) \sqrt[4]{x^2+y^2} \sin \left(\frac{1}{2} \arg (x+i y)\right)\right) \cosh \left(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right) \sqrt[4]{x^2+y^2} \cos \left(\frac{1}{2} \arg (x+i y)\right)\right)=0\\ I = \lambda \sin \left(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right) \sqrt[4]{x^2+y^2} \sin \left(\frac{1}{2} \arg (x+i y)\right)\right) \sinh \left(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right) \sqrt[4]{x^2+y^2} \cos \left(\frac{1}{2} \arg (x+i y)\right)\right)-(\lambda -1) \sin \left(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right) \sqrt[4]{x^2+y^2} \sin \left(\frac{1}{2} \arg (x+i y)\right)\right) \sinh \left(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right) \sqrt[4]{x^2+y^2} \cos \left(\frac{1}{2} \arg (x+i y)\right)\right)=0$$

y analizando el locus raíz para algunos valores de $a,b,\lambda$ tenemos buena información.

Por ejemplo, con $a = 3, b = 2, \lambda = 0.9$ sin ceros.

con $a = 3, b = 2, \lambda = 0.1$ los ceros están en las intersecciones.

con $a = 3, b = 2, \lambda = 0.5$ sin ceros.

Así podemos visualizar la posición de los ceros en función de los parámetros. Esto puede ayudar con el método de los residuos. Sigue el MATHEMATICA script para hacer los gráficos

re0 = -(-1 + lambda) Cos[(Sqrt[a] - Sqrt[b]) (x^2 + y^2)^(1/4)
 Sin[1/2 Arg[x + I y]]] Cosh[(Sqrt[a] - Sqrt[b]) (x^2 + y^2)^(1/4)
 Cos[1/2 Arg[x + I y]]] + lambda Cos[(Sqrt[a] + Sqrt[b]) (x^2 + y^2)^(1/4)
 Sin[1/2 Arg[x + I y]]] Cosh[(Sqrt[a] + Sqrt[b]) (x^2 + y^2)^(1/4)
 Cos[1/2 Arg[x + I y]]]
im0 = -(-1 + lambda) Sin[(Sqrt[a] - Sqrt[b]) (x^2 + y^2)^(1/4)
 Sin[1/2 Arg[x + I y]]] Sinh[(Sqrt[a] - Sqrt[b]) (x^2 + y^2)^(1/4)
 Cos[1/2 Arg[x + I y]]] + lambda Sin[(Sqrt[a] + Sqrt[b]) (x^2 + y^2)^(1/4)
 Sin[1/2 Arg[x + I y]]] Sinh[(Sqrt[a] + Sqrt[b]) (x^2 + y^2)^(1/4)
 Cos[1/2 Arg[x + I y]]]

a = 3;
b = 2;
lambda = 0.1;
r = 50;
gr1 = ContourPlot[re0 == 0, {x, -r, r}, {y, -r, r}, ContourStyle -> Red, PlotPoints -> 25];
gr2 = ContourPlot[im0 == 0, {x, -r, r}, {y, -r, r}, ContourStyle -> Blue, PlotPoints -> 25];
Show[gr1, gr2]