Decaimiento de funciones no negativas con el soporte compacto de Fourier

Question

Deje $f$ ser una función en la línea real con $\widehat{f}$ apoyado en el intervalo de $[-1,1]$. Vamos a denotar el espacio de funciones con $W_0$.

Deje $g\ge 0$ denotar un decayendo rápidamente (y decir, continua, si lo que importa) de la función en la línea real; lo que tengo en mente es algo así como el valor absoluto de un Schwartz función.

Pregunta: Dada una función de $g$, se debe siempre existir $f\in W_0$ tal que $g(x)\le f(x)$ para todos los $x\in\mathbb{R}$ ? Si sí, ¿se puede encontrar $f\in W=W_0\cap \mathcal{S}$ ?

(Aquí se $\mathcal{S}$ denota Schwartz funciones.)

Presumiblemente, para la segunda parte, la rápida decadencia no es suficiente. Por otro lado, si $g$ es de forma compacta compatible, entonces la respuesta a la segunda pregunta, parece ser que sí, que se $f=\widehat{\phi*\phi}$ para un approriately elegido liso $\phi$ apoyado en $[-1/2,1/2]$.

Respuestas parciales o sugerencias son bienvenidos también.

Edit: lo Siento por la confusión a través de varias ediciones.

Answer 1

Edit: La primera versión de este fue una respuesta a la primera versión de la pregunta, donde $W$ fue definido por decir $\hat f$ es compatible en $[-1,1]$, sin asumiendo $f\in\mathcal S$. Digamos que el espacio es $W_0$. Damos la solución para $W_0$, luego indique cómo podría ser modificado para $W$.

Edición de${}^2$: Si usted se está preguntando por qué he de repetir la definición de $W_0$ aquí, es porque el OP es todavía la modificación de la pregunta. [Suspiro...]

Para $W_0$ rápida disminución es más que suficiente; de hecho

Existe $f\in W_0$ con $f(t)\ge 1/(1+t^2)$ para todos los $t$.

En primer lugar,

Existe $\psi\in W_0$ con $\psi\ge0$ e $\psi(0)>1$.

(Sugerencia: $\hat \psi=\phi*\phi$...)

Ahora decir $\psi\ge1$ a $(-\delta, \delta)$. Vamos $$I_n=[(n-1)\delta, (n+1)\delta]\quad(n\in\Bbb Z).$$ Choose $a_n$ with $$\sum_{n\in\Bbb Z}a_n<\infty$$and $$a_n\ge\frac1{1+t^2}\quad(t\in I_n).$$Let $$f(t)=\sum_{n\in\Bbb Z} a_n\psi(t-n\delta).$$

Más o menos lo mismo funciona para $W$si $g$ está reduciendo rápidamente:

Si $g$ está reduciendo rápidamente existe $f\in W$ con $f\ge|g|$.

Primero, tenga en cuenta que usted puede conseguir $\psi\in W$ tomando $\hat\psi=\phi*\phi$ con $\phi$ suave.

Ahora existe una rápida disminución de la secuencia (obvio definición de izquierda a usted) con $$|g(t)|\le a_n\quad(t\in I_n).$$Define $f$ as above. Then $f\in\mathcal S$, since $\hat f$ is smooth with compact support. (The fact that $a_n$ is rapidly decreasing shows that $m$ is smooth, if $$m(x)=\sum a_ne^{in\delta x};$$ hence $\sombrero de f = m\hat\psi$ es suave.)