Diferentes definiciones de (co) homología con coeficientes locales.

Question

Actualmente estoy tratando de entender cómo las diferentes encarnaciones de homología con el local de los coeficientes que relacionan el uno al otro. Deje $X$ ser un semi-localmente simplemente se conecta el espacio, y deje $\pi_1 = \pi_1(X,x_0)$. Homología con local coeficientes normalmente se construye a partir de uno de los tres siguientes objetos:

1. Un $\mathbb{Z}\pi_1$-Módulo De
2. Un Paquete discreto de abelian grupos $p:E\to X$

En otras palabras, estos son haces de fibras $G\hookrightarrow E\to X$ con fibras discretos abelian grupos isomorfos a $G$, y cuya estructura de grupo de algunos de los subgrupos de $\operatorname{Aut}(G)$ , de modo que el local como banalizaciones $\phi_U:p^{-1}(U)\to U\times G$ restringir a homomorphisms sobre las fibras.

3. Un Functor $\mathcal{L}:\Pi_1(X)\to\textbf{Ab}$

donde $\Pi_1(X)$ es fundamental groupoid, y $\mathcal{L}(x)$ es siempre discreta abelian.

Dado un $\mathbb{Z}\pi_1$-módulo de $M$, se puede construir un paquete de $\widetilde{X}\times_{\pi_1}M\to X$ discreto de abelian los grupos de Borel de la construcción. Por el contrario, dado un paquete discreto de abelian grupos $p:E\to X$, esto es realmente un cubriendo el espacio, y por lo tanto existe una acción de $\pi_1$ en la fibra $G$, dándole la estructura de una $\mathbb{Z}\pi_1$-módulo.

Esto me lleva a mi pregunta:

A. ¿Cómo funciona un paquete de $p:E\to X$ discreto de abelian grupos dan lugar a un functor $\mathcal{L}:\Pi_1(X)\to\textbf{Ab}$?

Edit: por Lo que el resultado de la homología de grupos de $H_*(X;E)$ e $H_*(X;\mathcal{L})$ son isomorfos?

Aquí está mi respuesta: para un paquete de $p:E\to X$ nos pusimos $\mathcal{L}(x) = p^{-1}(x)$, y para un homotopy clase de caminos $[\omega:I\to X]$ (una de morfismos de $\omega(0)=x_0$ a $\omega(1)=x_1$) pondremos $\mathcal{L}[\omega]$ a ser el mapa de $p^{-1}(x_0)\to p^{-1}(x_1)$ construido a partir de el uso de la homotopy elevación de la propiedad en

$$h:p^{-1}(x_0)\times I\to X,\quad h(e,t) = \omega(t).$$

(ascensor esta a $H:p^{-1}(x_0)\times I\to E$, y, a continuación, $H(-,1):p^{-1}(x_0)\to p^{-1}(x_1)$ es el mapa que me refiero.) Sin embargo, estoy teniendo un tiempo difícil mostrar que este es un homomorphism. Esto probablemente no es un buen método ya que no hay canónicas de identificación de cada fibra con $G$.

B. ¿Cómo funciona un sistema local $\mathcal{L}:\Pi_1(X)\to\textbf{Ab}$ dar lugar a un paquete de $p:E\to X$ discreto de abelian grupos? (o $\mathbb{Z}\pi_1$-módulo?)

Edit: por Lo que el resultado de la homología de grupos de $H_*(X;E)$ e $H_*(X;\mathcal{L})$ son isomorfos?

Deduzco de esta discusión que es posible en este caso, pero no estoy seguro de cómo iba a funcionar.

Referencias

[1.] Hatcher, Topología Algebraica, pg. 330

[2.] Whitehead, Elementos de Homotopy Teoría, pg. 257 (nota: él llama functors $\mathcal{L}:\Pi_1(X)\to\textbf{Ab}$ "paquetes de grupos")

Answer 1

Todavía no has hecho uso de el hecho de que el local como banalizaciones restringir a homomorphisms sobre las fibras. También, tal vez usted quiere escribir isomorphisms sobre las fibras. Voy a asumir que es así, y aquí es cómo hacer uso de eso.

Considere la posibilidad de su camino elegido $\omega : I \to X$. La idea es tirar para atrás abra las cubiertas en $X$ a través de la continua mapa de $\omega$ obtener abra las cubiertas en $I$, para que el Número de Lebesgue Lema puede ser aplicada. (Tal vez usted ha encontrado con estos tipos de aplicaciones de la Lebesgue Número Lema antes, pero si no, entonces buenos ejemplos de tales aplicaciones pueden ser encontrados en el grupo fundamental de porciones de Munkres libro "Topología".)

En $X$ tiene una apertura de la tapa que consiste en el abierto de los conjuntos de $U$ sobre los cuales tiene local como banalizaciones. La colección de $\{\omega^{-1}(U)\}$ es una cubierta abierta de $I=[0,1]$. La aplicación de la Lebesgue número de lema, existe $\lambda > 0$ tal que cualquier subconjunto de $I$ del diámetro de la $<\lambda$ está contenida en algún elemento de la colección. Elegir un número entero $n$ , de modo que $\frac{1}{n} < \lambda$ y considerar la descomposición $$t_0=0, \quad t_1 = \frac{1}{n}, \quad t_2 = \frac{2}{n}, \quad ... \, , \quad t_n=\frac{n}{n}=1 $$ Para cada una de las $i=1,..,n$ existe un conjunto abierto $U_i$ más de los que tiene un local de la decadencia tal que $[t_{i-1},t_i] \subset \omega^{-1}(U_i)$ e lo $\omega[t_{i-1},t_i] \subset U_i$. El uso de los locales como banalizaciones más de $U_1,U_2,...,U_n$ en vez de obtener una secuencia de isomorphisms:

1. La primera va desde la $x_0=\omega(t_0)$ fibra $p^{-1}(\omega(t_0))$ a de la $\omega(t_1)$ fibra $p^{-1}(\omega(t_1))$;

2. El segundo va de $p^{-1}(\omega(t_1))$ a $p^{-1}(\omega(t_2))$;

...

$n$. El $n^{\text{th}}$ va de $p^{-1}(\omega(t_{n-1}))$ a $p^{-1}(\omega(t_n)) = p^{-1}(x_1)$.

Por la composición de obtener su deseado isomorfismo de la $x_0$ fibra $p^{-1}(x_0)$ a de la $x_1$ fibra $p^{-1}(x_1)$.

Ahora hay otro problema, a saber, ¿por qué este isomorfismo sólo depende de $[\omega]$ e no $\omega$ sí. Por eso, usted necesita otro argumento de la aplicación de Lebesgue número de lema, pero esta vez el argumento se aplica a una ruta de acceso homotopy $H : I \times I \to X$ entre un camino homotópica par de rutas de $\omega_1,\omega_2$. Eso es más complicado, pero tal vez esto sea suficiente para responder a su pregunta.