¿Existe$X$ tal que$A = X^2 + X^t$?

Question

Si $A \in M_n( \mathbb{R} )$ , entonces, ¿cuándo existe $X \in M_n(\mathbb{R})$ tal que $A = X^2 + X^T$ ?

Answer 1

Por supuesto, asumimos que $n\geq 2$.

$\textbf{Proposition 1}$. Deje $n$ ser un entero impar. Entonces no es $A\in M_n(\mathbb{R})$ s.t. no hay soluciones en $X\in M_n(\mathbb{R})$.

$\textbf{Lemma}$. Si $X$ es una solución, entonces se $X^4-AX^2-X^2A+X-A^T+A^2=0$.

$\textbf{Proof}$. El uso de $X=A^T-{X^T}^2$.

$\textbf{Proof of Proposition 1}$. Desde $n$ es impar, si $X$ es una solución real, a continuación, $X$ tiene al menos un autovalor real. Nos elija (por ejemplo,) $A=-I_n$. Entonces la ecuación es $X^4+2X^2+X+2I=0$. Que es contradictorio, porque el polinomio $x^4+2x^2+x+2$ no tiene raíces reales. $\square$

EDIT. $\textbf{Proposition 2}$. Deje $n$ ser un entero par. Si $A$ es normal y no tiene autovalores, entonces existe al menos una solución normal en $X$.

$\textbf{Proof}$. Hasta un ortonormales de cambio de base, podemos suponer que la $A=diag(U_1,\cdots,U_k)$ donde $k=n/2$ e $U_i$ es en la forma $\begin{pmatrix}a_i&b_i\\-b_i&a_i\end{pmatrix}$ con $(a_i,b_i)\in\mathbb{R}\times \mathbb{R}^*$. Por lo tanto, es suficiente para resolver la ecuación (en la dimensión $2$) $X^T+X^2=\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}$ con $(a,b)\in\mathbb{R}\times \mathbb{R}^*$.

Que trabaja con $X=\begin{pmatrix}x&b/(2x-1)\\-b/(2x-1)&x\end{pmatrix}$ donde

$x>1/2$ satisface $f(x)=x^2-b^2/(2x-1)^2+x=a$.

Observe que $x$ existe porque $\lim_{x\rightarrow 1/2+0} f(x)=-\infty$ e $\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=+\infty$. $\square$