Expansión decimal de Pi

Question

Perdona si esto ya se ha preguntado antes, pero tengo una duda sobre la noción de que la expansión decimal de pi contiene todas las cadenas de números posibles (ten en cuenta que sólo soy un aficionado "casual" a las matemáticas). Si es así, ¿la expansión no contendría al propio pi? (Es decir, 3,1415926...31415926...) Eso convertiría a pi en un decimal repetitivo que, en teoría, podría representarse como una fracción exacta. Si restringimos el argumento para decir que pi sólo contiene todas las secuencias finitas de números, entonces no sería contradictorio (veríamos 3, 31, 314, 3141, 31415... ¿por qué no todo el camino? Siempre podríamos añadir otro dígito para crear una cadena finita más larga ad infinitum)?

Gracias de antemano.

Answer 1

La afirmación sólo se refiere a las cuerdas finitas (y aparte de esto, sólo es una conjetura, no se ha demostrado). De hecho, su argumento de "qué pasaría si" es sólido y demostraría que $\pi$ es racional. El hecho de que no sea racional (de hecho, trascendental) muestra que no puede contenga a sí mismo de manera no trivial.

En cuanto a la segunda pregunta: No, todas las cadenas finitas no implican una cadena infinita determinada. De hecho, el número $$0.123456789101112131415161718192021222324\ldots $$ obtenido al concatenar todos los números naturales Es demostrable que contiene todas las cadenas finitas, y entre ellas $3$ , $31$ , $314$ , $3141$ y así sucesivamente, pero ciertamente (aunque quizás no obviamente) no la expansión completa de $\pi$ .

Answer 2

Hay una serie de observaciones que llevarían a la conclusión de que tener cada cadena finita como subcadena es totalmente diferente a tener cada cadena infinita como subcadena.

En primer lugar, " $100111000011111000000...$ "contiene (como subcadena) todas las cadenas finitas que constan sólo de unos o sólo de ceros, pero no contiene las cadenas infinitas que constan sólo de unos o sólo de ceros.

En segundo lugar, al concatenar todos los enteros positivos se obtiene " $12345678910111213...$ " que contiene todos los enteros positivos pero no contiene la cadena infinita " $0000...$ "porque todo entero positivo tiene un número finito de ceros. Esta es una afirmación mucho más fácil de verificar que la afirmación de Hagen de que no contiene $π$ .

En tercer lugar, el número de subcadenas que contiene una cadena es contable, y el número de cadenas infinitas es incontable, por lo que una cadena cualquiera no contendrá casi todas las cadenas infinitas.

En cuarto lugar, su intento de justificar su hipótesis tiene un fallo lógico crucial. Si una cadena infinita $x$ contiene toda cadena finita, significa:

  Para toda cadena finita $y$ :

    Para algunos puestos $p$ :

      $y$ se produce en $x$ en la posición $p$ .

Lo hace no de manera implícita:

  Para algunos puestos $p$ :

    Para toda cadena finita $y$ :

      $y$ se produce en $x$ en la posición $p$ .

que es lo que se necesita para concluir que:

  Para algunos puestos $p$ :

    $π$ se produce en $x$ en la posición $p$ .

Este cambio de cuantificadores es un error lógico muy común, pero debería ser muy obvio si lo escribes como lo hice yo.

Answer 3

Una respuesta breve y concisa es la siguiente:

$\pi$ es un número irracional no repetitivo . Si se encontrara un subconjunto que contenga todos los dígitos de $\pi$ Eso significaría que la secuencia de dígitos secuencia de dígitos HASTA ESE PUNTO sería idéntica a la secuencia a partir de ese punto. Hasta llegar al mismo punto dentro de ese subconjunto, donde comienza otro subconjunto idéntico a ese. Por lo tanto, $\pi$ empezaría a ser repetitivo a partir de ese momento, para infinito. Como $\pi$ no se repite, eso no puede ser cierto. Por lo tanto no existe tal punto. (ver https://i.stack.imgur.com/Xazkv.png )

Si quieres hacer un poco de "matemática experimental" puedes buscar entre los dígitos de $\pi$ para secuencias de $\pi$ con su navegador aquí:

• http://www.eveandersson.com/pi/digits/10000
• http://www.eveandersson.com/pi/digits/100000
• http://www.eveandersson.com/pi/digits/1000000

Los resultados son para

10000 dígitos:

3:  975 hits
31: 91 hits
314: 16 hits
3141: 1 hits

100000 dígitos:

3:  10028 hits
31: 966 hits
314: 92 hits
3141: 8 hits
31415: 1 hits

1000000 dígitos:

3 : 100230 hits 
31: 9758 hits 
314: 971 hits 
3141: 89 hits 
31415: 8 hits 
314159 : 1 hit

Así que se podría llegar a la siguiente "ley": Para encontrar una secuencia de $\pi$ con $n$ dígitos en el interior $\pi$ en sí mismo, se necesita alrededor de $10^n$ dígitos de $\pi$ . Así que para encontrar el $\infty$ dígitos de $\pi$ se necesitaría $10^{\infty}$ dígitos de pi, lo que debería convencerte de que no deberías intentar hacerlo con tu navegador.