Calcular la norma del operador de $A: L^2[0,1] \to L^2[0,1]$ definido por $(Af)(x):=i\int_0^x f(t)\,dt-\frac{i}{2} \int_0^1 f(t) \,dt$

Question

Quiero calcular la norma del operador $A: L^2[0,1] \to L^2[0,1]$ que se define por $$(Af)(x):=i\int\limits_0^x f(t)\,dt-\frac{i}{2} \int\limits_0^1 f(t)\, dt$$

Ya he demostrado que este operador es compacto y autoadjunto. Creo que esto me ayuda a calcular la norma del operador. Quizás a través del teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos.

También sé que para operadores integrales de la forma $$(Kf)(x)=\int\limits_0^1 k(x,t) f(t)\,dt$$ la desigualdad $\Vert K \Vert \leq \Vert k \Vert{}_{L^2}$ se mantiene.

Para $$(Af)(x)=i\int\limits_0^x f(t)\,dt-\frac{i}{2} \int\limits_0^1 f(t) \,dt = \int\limits_0^1 i\,\left(1_{[0,x]}(t)-\frac{1}{2}\right)f(t)\,dt$$ esto me da un límite superior:

$$\Vert A \Vert \leq \left\Vert i~1_{[0,x]}-\frac{i}{2} \right\Vert{}_{L^2}=\frac{1}{2}$$

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Dejemos que $k(t,x)=i\big(\mathbb{1}(0<t\leq x)-\frac12\big)$ y definir el operador $A_k:f\mapsto\int^1_0k(t,x) f(t)\,dt$ en $L_2([0,1])$ . Como se señala en el planteamiento del problema, $A_k$ es compacto y autoadjunto. Aquí hay una breve prueba para completar.

• $A_k$ es compacto en $L_2(0,1)$ porque $\int_{[0,1]^2}|K(t,x)|^2\,dt\,dx =\frac14<\infty$ .
• Para comprobar la autoadhesión de $A_K$ , fíjese que $$A_Kf(x)=i\Big(\int^x_0f(t)\,dt-\frac12\int^1_0f(t)\,dt\Big)=\frac{i}{2}\Big(\int^x_0 f(t)\,dt-\int^1_x f(f)\,dt\Big)$$ mientras que \begin {alineado} A^*_Kf(x)&= \int ^1_0 \overline {k(x,t)}f(t)\N-, dt=-i \Big ( \int ^1_xf(t)\N-\N- dt- \frac12\int ^1_0f(t)\N-, dt \Big ) \\ &= \frac {i}{2} \Big ( \int ^x_0f(t)\N-, dt- \int ^1_xf(t)\N-, dt \Big )=A_kf(x) \end {alineado}

Con todo esto, tenemos que el espectro de $A_f$ consiste en valores propios contables que convergen a $0$ (y posiblemente cero). El mayor valor propio (en magnitud) es también la norma de $A_k$ .

Para cada $n\in\mathbb{Z}$ la función $\phi_n(t)=e^{i(2 n + 1)t}$ es un vector propio de $A_K$ correspondiente al valor propio $\frac{1}{(2n+1)\pi }$ . Al menos esto da $\frac{1}{\pi}\leq\|A_K\|\leq 2$ . Hay que comprobar que $\{\frac{1}{(2 n+1)\pi}:n\in\mathbb{Z}\}$ son los únicos valores propios . Una vez verificado esto, resulta que $\|A_k\|=\frac{1}{\pi}$ .

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Nota al margen: Las funciones $f_\alpha(t)=\sqrt{2\alpha+1}\,t^\alpha$ con $\alpha>-\frac12$ aunque no son funciones propias, dan un límite interesante: $\|A_K f_\alpha\|^2_2=\frac{2\alpha+1}{(\alpha+1)^2}\Big(\frac{1}{2\alpha+3}-\frac{1}{\alpha+2}+\frac14\Big)$ . Esto alcanza un máximo en $\alpha=0.56807...$ y que da un límite inferior de $0.298225...$ para $\|A_k\|$ . Esto es óptimo ya que $\frac{1}{\pi}=0.3183099...$ .

Answer 2

Las funciones propias del operador $A$ forman un sistema ortonormal, por lo que podemos escribir $$Af = \sum\limits_{k\in\mathbb{Z}} \lambda_k (f,e_k)e_k$$ Dónde $\lambda_k = \frac{1}{(2k+1)\pi}$ son los valores propios de $A$ con las correspondientes funciones propias $e_k = e^{(2k+1)\pi i}$ . Ahora definimos $$c:=\max\limits_{k\in\mathbb{Z}}(\vert\lambda_k\vert)$$

$$\Vert Af\Vert^2 = \sum\limits_{k\in\mathbb{Z}} \vert \lambda_k (f,e_k) \vert^2\leq c^2\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}} \vert(f,e_k) \vert^2=c^2 \Vert f \Vert^2$$

Por lo tanto, $\Vert A \Vert \leq c$ .

Para la otra dirección suponga $f=e_0$ la función propia que corresponde al mayor valor propio $\lambda_0$ .

$$\Vert Af \Vert^2=\Vert \lambda_0 f\Vert^2 = c^2$$

De ello se desprende que $\Vert A \Vert= c$ . En el sitio web $c=\max\limits_{k\in\mathbb{Z}}\Big(\vert\frac{1}{(2k+1)\pi}\vert \Big)=\frac{1}{\pi}$ .