Ab * surd * Integrales

Question

Soy incapaz de encontrar una prueba para estas integrales en internet. el texto con énfasis $$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cot^{-1}(\sqrt{1+\csc{\theta}}\,) \, \text{d}\theta = \frac{\pi^2}{12}$$

$$\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2} \csc^{-1}(\sqrt{1+\cot{\theta}}\,) \, \text{d}\theta = \frac{\pi^2}{8}$$

Fuentes: Brillante, AoPS

Traté de diferenciación bajo el signo integral, pero no puedo pensar de un parámetro adecuado que deja fácilmente integrable funciones racionales.

He tratado de explotar los límites para reflejar y transformar el integrando, pero fue en vano.

Una solución real, pero se prefiere una solución compleja es perfectamente aceptable.

Una solución geométrica no es algo que he considerado, pero estoy sólo aferrarse a un clavo ardiendo.

Answer 1

La segunda integral es igual a

$$ I_2=\int_{0}^{\pi/2}\arcsin\sqrt{\frac{\tan t}{1+\tan t}}\,dt=\int_{0}^{\pi/2}\arctan\sqrt{\tan t}\,dt=\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan\sqrt{u}}{1+u^2}\,du$ $ y al dividir el último rango de integración como$(0,1)\cup(1,+\infty)$ y realizar la sustitución$u\mapsto\frac{1}{u}$ en la segunda parte,$$ I_2 = \int_{0}^{1}\frac{\arctan\sqrt{u}}{1+u^2}\,du+\int_{0}^{1}\frac{\frac{\pi}{2}-\arctan\sqrt{u}}{1+u^2}\,du = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{1}\frac{du}{1+u^2}=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\color{red}{\frac{\pi^2}{8}}.$ $ La primera integral es$$ I_1=\frac{\pi^2}{4}-\int_{0}^{\pi/2}\arctan\sqrt{\frac{1+\sin t}{\sin t}}\,dt=\frac{\pi^2}{4}-2\int_{0}^{\pi/4}\arctan\sqrt{\frac{1+\cos(2t)}{\cos (2t)}}\,dt$ $ y $$\int_{0}^{\pi/4}\arctan\sqrt{\frac{1+\cos(2t)}{\cos (2t)}}\,dt=\int_{0}^{1}\arctan\sqrt{\frac{2}{1-u^2}}\frac{du}{1+u^2}$ $ es una variante de la integral de Ahmed que se puede abordar mediante la diferenciación bajo el signo integral: es suficiente para poder integrar$\frac{\sqrt{1-u^2}}{(1+a-u^2)(1+u^2)}$.