Integrabilidad uniforme

Question

Sea $\mu$ sea una medida de probabilidad sobre $X$ de modo que $\int_X \mu(dx) = 1$ .

Tengo una familia $\{f_i\}_{i=1}^{\infty}$ de funciones $f_i: X \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ tal que $$ \displaystyle \sup_{i} \int_X f_i(x) \mu(dx) < \infty$$

¿Bajo qué condiciones adicionales puedo decir que son Uniformemente Integrables?

La secuencia que tengo es general, del tipo $f_i(x) = g(z_i,x)$ donde $g: \mathbb{R}^n \times X \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ está acotada localmente (y es integrable para cualquier $z \in \mathbb{R}^n$ ). Además, $z_i \in \mathbb{B}(z,\delta)$ es decir, la bola centrada en $z \in \mathbb{R}^n$ con radio $\delta$ . Puedo hacer tal radio $\delta$ tan pequeño como se desee.

¿Cómo concluir que dicha familia es Uniformemente Integrable (si es el caso)?

Answer 1

http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_integrability . Por supuesto, hay algunas condiciones obvias, como la monotonicidad de la secuencia $\{f_i\}$ . Aquí por monotonicidad se entiende que para cualquier medible $A\subset X$ , $\|f_n|_A\|_{L^1}\leq \|f_m|_A\|_{L^1}$ siempre que $n\geq m$ . Consulta ese enlace para ver las condiciones suficientes.

Las condiciones suficientes más generales son difíciles de plantear, simplemente porque hay contraejemplos fáciles incluso en los casos más bonitos (es decir, cuando se trata de una secuencia de, digamos, funciones continuas). En cuanto a los casos particulares, habría demasiados para enumerarlos. ¿Podrías explicarnos mejor la secuencia que tienes en mente?

EDIT: La respuesta anterior, y la mayor parte de la discusión a continuación, se refiere al caso general antes de que el OP publicó las condiciones adicionales (es decir, las cosas acerca de la función $g$ ), y ha aclarado qué se entiende por acotación local de $g$ . A continuación encontrará la respuesta relativa a la familia específica $f_i(\cdot) = g(z_i, \cdot)$ .

Caso i.

Si $g$ está localmente acotada independientemente de la segunda componente, es decir, si para cada $z\in \mathbb{R}^n$ existe $\delta > 0$ tal que para cada $w\in\mathbb{B}(z, \delta)$ y casi todos $x\in X$ , $|g(w,x)|\leq M$ entonces la respuesta a la pregunta original es obviamente sí . En efecto, entonces existe $\delta_0 > 0$ y $M > 0$ tal que para todo $w\in\mathbb{B}(z, \delta_0)$ (con $z$ como en la pregunta original), y casi todos los $x\in X$ , $|g(w, x)|\leq M$ . En particular, si $\{z_i\}$ es una secuencia en $\mathbb{B}(z,\delta_0)$ entonces $|f_i|\leq M$ casi seguro que en $X$ (como dijo el OP, $\delta$ en el post original puede tomarse arbitrariamente pequeño, en particular podemos tomar $\delta = \delta_0$ ). Pero entonces obviamente tenemos integrabilidad uniforme.

Caso ii.

Supongamos ahora un ejemplo menos trivial. Supongamos que $X$ es un espacio topológico. Supongamos que $g$ es tal que para cualquier $(z,x)\in\mathbb{R}^n\times X$ existe una vecindad abierta $\mathbb{B}$ en torno a $(z, x)$ en $\mathbb{R}^n\times X$ y $M > 0$ tal que en $\mathbb{B}$ , $|g|\leq M$ (es decir, la acotación local de $g$ depende de ambos componentes). Entonces el siguiente contraejemplo ilustra que la integrabilidad uniforme generalmente no se cumple.

Defina $g$ como sigue. Sea $X = \mathbb{R}_{> 0}$ . Sea $g(y,x) = f_x(y)$ donde $f_x(y) = 0$ sur $(0, 1/\|x\|]\cup [1/\|x\| + \|x\|^{1/2}, \infty)$ y $f_x(y) = 1/\|x\|$ sur $(1/\|x\|, 1/\|x\| + \|x\|^{1/2})$ .

Ahora toma $\delta < 1$ y considere $g$ sur $\mathbb{B}(0, \delta)$ . Elige cualquiera $v\in\mathbb{R}^n$ con $\|v\| = 1$ y definir la secuencia $\{f_i\}_{i\in \mathbb{N}}$ por $f_i(x) = g(v/i, x)$ .