Deje que $X$ ser un complejo de CW, con filtración $ \emptyset \subset X_0 \subset X_1 \subset \cdots \subset X$ . Deje que $p \colon E \to X$ ser un espacio de cobertura. Demuestra que $E$ es un complejo de CW con filtración dada por la familia $E_i := p^{-1}(X_i)$ .
Primero recuerde la definición:
Definición Un complejo de guerra química $X$ es un espacio $X$ que es la unión de una secuencia expansiva de subespacios Xn tal que, inductivamente, $X_0$ es un conjunto discreto de puntos (llamados vértices) y $X_{n+1}$ es la expulsión obtenida de $X_n$ al adjuntar los discos $D^{n+1}$ a lo largo de "adjuntar mapas" $j \colon S^n \to X_n$
Llama a los mapas característicos para $X$ de la manera habitual: $Q_i^n \colon D_i^n \to X_n$ donde $i$ es sólo un índice.
Mi intento:
Levanté mi $Q_i^n$ y obtuvo una familia $\{ \tilde {Q^n}_{i,j}\}$ de mapas con $Q_i^n = p \circ \tilde {Q^n}_{i,j} $ para todos $j \in J$ (No asumo que el grado de nuestra cobertura sea finito. Me las arreglé para probar que la topología de $E$ es la topología débil, pero no soy capaz de probar que es un cuadrado de empuje con estos mapas característicos (y su restricción a $S^{n-1}$ ). He buscado por ahí y debería ser fácil (porque muchos libros lo dicen, por ejemplo. aquí y aquí o dárselo como un ejercicio como la página 529 de Hatcher)
He demostrado que por cada $n$ , $$E_n = E_{n-1} \ \ \bigcup \ \ \left ( \bigcup_ {i,j} \tilde {Q^n}_{i,j}(D^n_{j,i}) \right )$$
Pero no puedo encontrar un homeo entre este espacio y el habitual empuje hacia afuera en Top que resulta ser $$E_{n-1} \bigsqcup_ { \eta } \bigcup_ {i,j}D_{i,j}^n $$ donde $ \eta $ es la proyección que identifica la imagen de los elementos en $S^{n-1} \subset D^n$ con sus imágenes a través de los respectivos mapas característicos. De hecho, encontré una bijección continua entre los dos espacios, pero desde allí no puedo proceder (porque no es necesariamente compacto, o los mapas característicos no son necesariamente abiertos)
¿Alguien tiene algún consejo o puede mostrarme cómo probar esto?
