Equivalencia de$\int_a^b|f|=0$

Question

Supongamos $f\geq 0$, es Riemann integrable en $[a,b]$,, a continuación, $\int_a^bf=0$ fib $D=\{x\in[a,b]\mid f(x)>0\}$ tiene medida de Lebesgue cero.

Un conjunto $A\subseteq\mathbb{R}$ tiene medida de Lebesgue cero iff $\forall\epsilon>0\exists$una contables de la familia de intervalos abiertos $\{I_n\}_{n\in\omega}(A\subseteq\bigcup_{n\in\omega}I_n\wedge\sum_{n=0}^\infty|I_n|<\epsilon)$.

Hasta ahora mis pensamientos, ($\rightarrow$) $L(P,f)=0$ para todos los partición $P$. Deje $\epsilon>0$,, a continuación,$\exists P_0(U(P_0,f)<\epsilon)$. Pero, ¿cómo puedo construir una familia de intervalos abiertos utilizando la partición de $P_0$?

He encontrado algunas preguntas similares aquí y aquí, pero no en la forma que me dijo. Estoy empezando a aprender la teoría de la medida. ¿Alguien puede demostrar que el uso de definiciones sólo? Gracias!

Answer 1

Sabemos que si $\int_a^b f=0$ y $f\geqslant 0$, $f=0$ en cada punto de continuidad de la$^{1}$, por lo tanto no hay punto de en $\{x:f>0\}$ puede ser un punto de continuidad. De ello se desprende $\{x:f>0\}\subset \{x:f \text{ is discontinuous at } x\}$ y por Lebesgue criterio del $\{x:f>0\}$ tiene medida cero.

A la inversa de la siguiente manera desde Riemann integrable implica Lebesgue integrable, porque sabemos $f=0$ en casi todas partes.

$1$. P Si $x'$ es un punto de continuidad (se puede probar tal punto que existe) y $f(x')>0$, se puede encontrar un intervalo cerrado $[\alpha,\beta]$ contiene $x'$ donde $f>0$. A continuación, $$\int_a^b f\geqslant \int_\alpha^\beta f>0$$