¿Las funciones definidas por partes siempre se pueden diferenciar pieza por pieza?

Question

Supongo que tiene una función $f(x) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ (o un subconjunto de $\mathbb{R}$) con $f (x) := \begin{cases} x^3 & \text{if } x \geq 0 \\ x^2 & \text{otherwise} \end{casos} $.

El derivado $f': \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ de % de $f(x)$ es $f' (x) := \begin{cases} 3 \cdot x^2 & \text{if } x \geq 0 \\ 2 \cdot x & \text{otherwise} \end{casos}$.

Para conseguir esto derivado de que simplemente podría diferenciar de la primera parte y la segunda parte.

Se puede calcular la derivada de cada función definida a trozos de esta manera?

Hace poco vi Thomae de la función:

$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{q} &\text{ if } x=\frac{p}{q}\mbox{ is a rational number}\\ 0 &\text{ if } x \mbox{ is irrational}. \end{casos}$

Pensé que podría ser una función derivable que se define como que y que no puede ser derivada simplemente derivando pieza por pieza.

Answer 1

El derivado de su$f(x)$ es automáticamente $3x^2$ solo para$x>0$. Sucede que tiene el derivado$0$ en$x=0$, pero eso es "porque" el derivado de$x^2$ es$0$ en$x=0$. Si reemplazamos$x^2$ por$x$, entonces el derivado no existirá en$x=0$.

La función de Thomae no se considera normalmente definida por partes.

Answer 2

Si se requiere que las piezas estén interconectadas en intervalos no triviales, entonces esa sería la forma de hacerlo, excepto en los puntos finales donde se encuentran las piezas. En los puntos finales, debe verificar la derivada izquierda y la derivada derecha para asegurarse de que sean iguales. Si no requiere intervalos entonces

$$ f (x) = \begin{cases} 4 & \text{if %#%#%}\\ \frac{x^2-4}{x-2} & \text{if %#%#%} \end {casos} $$

es un ejemplo en el que no solo se diferenciaría$x=2$ para obtener$x\neq 2$.