Fórmula (/ Cómo) para encontrar 2 números que se suman para dar un número y veces para dar otro

Question

Tengo$2$ números$a, b$. Necesito una fórmula (o una forma de hacerlo) para encontrar qué$2$ números$c,d$ se sumarán para dar a y tiempos juntos para dar$b$. Asi que

$c + d = a$
$c \cdot d = b$

Answer 1

Ya no soy tan inteligente como para imaginar que la solución tiene nada que ver con las fórmulas de Vieta o raíces de polinomios, ;-) me gustaría probar el siguiente. En primer lugar, permítanme llamar su incógnitas $c,d$ con cartas que parecen unkowns (he tratado de hacer el problema con $c,d$ y en un momento me olvidé de que entre los $a,b,c,d$ eran unkowns y que los datos). Así que vamos a $x = c$ e $y =d$. El sistema se convierte en

$$ \begin{align} x + y &= a \\ xy &= b \ . \end{align} $$

Ahora, ¿qué te gustaría hacer en esos casos. Por ejemplo, resolver la primera ecuación para $x$ en términos de $y$:

$$ x = a-y \ . $$

A continuación, sustituir esta expresión para $x$ en la segunda ecuación:

$$ (a-y)y = b \ . $$

Y, ¡sorpresa!, tienes una ecuación polinómica

$$ y^2 -ay + b = 0 $$

que se parece a los que me han dicho. (Así que esta Vieta debe haber sido un hombre inteligente, pero ha recuperado su truco.)

Y, por supuesto, una vez que tienes las soluciones $y$ de esta ecuación de segundo grado, debe utilizar $x = a-y$ encontrar $x$... (Solo para encontrar que si $y$ es una de las raíces de la última ecuación polinómica, $x$ es el otro.)

Answer 2

Considera la cuadrática

PS

Por lo tanto, las raíces de$$(x-c)(x-d) = x^2 -(c+d)x + cd = x^2 - ax +b$$$x^2 -ax + b = 0$ c$ are your numbers $ d $.

Las raíces están dadas por

PS

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Answer 3

SUGERENCIA $\rm\quad (X - c)\: (X - d) \; =\; X^2 - a\ X + b $