¿Cuál es la probabilidad de que alguien más en una habitación tenga el mismo cumpleaños que yo y que ninguna otra persona comparta un cumpleaños?

Question

¿Cuál es la probabilidad de que al menos una persona en una sala de$n$ personas (excluyéndome a mí) tenga el mismo cumpleaños que yo y que nadie más en la sala comparta un cumpleaños en una fecha diferente? Para fines prácticos, pretender que los años bisiestos no existen.

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Como seguimiento, ¿cuál es el número esperado de personas que tienen el mismo cumpleaños que yo en una sala de$n$ personas (excluyéndome a mí) si nadie más en la sala comparte un cumpleaños en un día diferente?

Answer 1

La probabilidad es:

[Explanantion:Spoiler]

Elegir n cumpleaños de 364 días(a excepción de la que tiene), todos diferentes fechas, a continuación, seleccionar a una persona cuyo cumpleaños desea cambiar a la tuya y a organizar el resto.Total de maneras de seleccionar los cumpleaños se $365^n$. En caso de 366 personas seleccionar a una persona que tiene el mismo cumpleaños con usted y organizar el resto de 364 personas con el resto de los 364 fechas.

$$\frac{\binom{364}{n}\binom{n}{1}(n-1)!}{365^n}:\quad n\le 364\\\frac{\binom{365}1364!}{365^n}:n=365\\0:n\ge366$$ Lo siento, sé que la combinatoria y aún no se ha cubierto la probabilidad o el valor esperado.